ช่วยหน่อยครับ

prachya · #1 09 มิถุนายน 2006, 21:23

พอดีผมไปย้อนทำข้อสอบเก่าๆ สสวท.ครับ ปี 44 แล้วคิดไม่ออกอยู่ 2-3 ข้อ รบกวนพี่ๆช่วยหน่อยละกันนะครับ

ข้อ 1
A = { |a| + |b| + |c| | a ,b,c เป็นจำนวนจริง } |ax² +bx+c | ฃ 1
x = [0,1] จำนวนในเซต A ที่มีค่ามากที่สุดคือเท่าใด

ก็ช่วยๆกันมั่วครับ พี่ M@gpie ได้ a = 4 b = -4 c =1 แต่ตอนนี้ยังไม่มั่นใจว่าเป็นค่ามากสุดหรือไม่

ข้อ 2
ABC เป็นสามเหลี่ยม BD แบ่งครึ่ง ะABC และพบ AC ที่จุด D
ถ้า BC = a , AB = c , AD = x , DC = y , BD = t
แล้วผลคูณของ a และ c มีค่าเท่าใดในเทอมของ t , x และ y

ปล. โจทย์สไตล์ปรับตัวแปรให้อยู่ในรูปที่เค้าต้องการ ผมทำไม่ได้ทุกทีเลยครับ
พี่ๆพอจะมี trick อะไรแนะนำหน่อยไม๊คับ?

ข้อ 3
วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC มีรัศมี r หน่วย
ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A, B , C ประกอบกันเป็นรูปสาม PQR
และความยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น m หน่วยแล้ว
tan A + tan B + tan C มีค่าเท่าใดในเทอม r และ m
(A, B,C เป็นมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC )

gon · #2 09 มิถุนายน 2006, 23:45

ข้อแรก : ที่หามายังไม่มากสุดครับ. ลองพิจารณาที่ปัญหาง่ายกว่า คือ
กำหนดให้ $ A = \{ |a| + |b| | a, b $ เป็นจำนวนจริง และ $| ax + b | \le 1$ ทุก $x \in [0, 1] \}$
จำนวนในเซต A ที่มีค่ามากที่สุดเป็นเท่าใด

Sol : $| ax + b | \le 1$ ทุก $x \in [0, 1]$
$\because \quad \quad | ax + b | \le 1 \quad \iff -1 \le ax + b \le 1 \quad \cdots(1)$
ภายใต้เงื่อนไข $\quad\quad0 \le x \le 1$
สมมติให้ $\quad\quad a > 0 \Rightarrow 0 \le ax \le a$
ดังนั้น $\quad \quad b \le ax + b \le a + b \quad \cdots(2)$

เทียบ (1) กับ (2) จะได้ b = -1, a = 2 ดังนั้น |a| + |b| = 3
และนั่นคือ $| 2x - 1 | \le 1$ ทุก $x \in [0, 1] \quad \quad (*)$

จากสมการ (*) ลองคิดต่อดูว่า จะนำอสมการ (*) พัฒนาไปสู่อสมการกำลังสองในรูป $| ax^2 + bx + c |\le 1$ ได้อย่างไร.?

ไม่ยากแล้วครับ ใช้ลูกเล่นทางพีชคณิตนิดเดียว...

Mr.high · #3 10 มิถุนายน 2006, 01:40

ทำข้อสามดีกว่า ดูแล้วง่ายสุด
ตอนแรกคิดว่าน่าจะใช้เอกลักษณ์ tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC เมื่อ A+B+C = $\pi$ ซะแล้ว
แต่คิดไปคิดมามันก็ไม่ใช้นี่หว่า
ข้อนี้ถ้าเรขาคณิตแน่นก็ไม่ยากเท่าไร

เราสังเกตรูปสามเหลี่ยม BOZ
จะเห็นได้ว่ามุม OBZ เป็นมุมฉาก ดังนั้น tan(90 - C) = r/z จึงได้ว่า tan(C) = z/r
ในทำนองเดียวกัน tan(A) = x/r ,tan (B) = y/r
จึงได้ว่า tanA + tanB + tanC = (x+y+z)/r = m/2r

passer-by · #4 10 มิถุนายน 2006, 02:45

ข้อ 2 ใช้สามเหลี่ยมคล้ายครับ

สร้างมุม ACE ขนาดเท่ากับ มุม ABD โดย E เกิดจากการต่อ BD ออกไปตัดกับ CE

เพราะสามเหลี่ยม ABD คล้ายกับสามเหลี่ยม DEC ทำให้ DE= xy/t และ CE = cy/t

ขณะเดียวกัน สามเหลี่ยม BEC ก็คล้ายกับสามเหลี่ยม DEC ดังนั้น

$ \large \frac{t+\frac{xy}{t}}{\frac{cy}{t}}=\frac{a}{y} $

Simplify จนเหลือ $ ac= t^2+xy $

แล้วก็ข้อ 3 ผมแปะคำถามเพิ่มเติมง่ายๆ ให้อีกข้อแล้วกันครับ

จงเขียนพื้นที่สามเหลี่ยม PQR ในเทอมของ r, m

prachya · #5 10 มิถุนายน 2006, 18:48

ข้อ 3 ง่ายจริงๆด้วยครับ ^o^
คราวแรกผมอ่านโจทย์แล้ววาดรูปมั่ว (อ่านโจทย์แล้วเข้าใจผิด)
พอลบๆแก้ใหม่ ก็วาดซะเล็กจัด เลยไม่ทันมองเห็นตรงมุม 90-C ครับ ไม่งั้นคงออกไปแร้ว อิอิ
ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบครับผม เด๋ว ผมจะตามเคลียนะครับ แหะๆ
(ระหว่างรอคำตอบ ทำของปี 45 ต่อจบแล้ว พร้อมกับเจอปัญหาอีก 2-3 ข้อตามเคย ไว้จะลองหากระทู้เก่าๆก่อนครับ ว่ามีเฉลยไหม)

โจทย์สไตล์จัดตัวแปรผมทำไมได้เรียกได้ว่า แทบทุกข้อเลยครับ
เท่าที่มองจากพี่ passer by -
trick คือ พยายามปรับทุกข้อมูลที่ให้มา ให้อยู่ในรูปตัวแปรที่โจทย์ต้องการ ใช่หรือเปล่าครับ
ถึงเป็นเหตุผลที่ลากเส้น ตรงเชื่อมจุด E ขึ้นมา (ซึ่ง ไม่เคยอยู่ในหัวผมเลย ว่าจะสร้างมันขึ้นมา)
ผมนั่งทำอยู่นาน ใช้ law of cosine อย่างเดียว ติดเป็นดุ้นๆเต็มไปหมด T__T

ถ้าไม่ใช่ อะไรเป็นแรงบันดาลใจให้สร้างเส้นนั้นขึ้นมาหรอครับ
เรขาผมจะเสียมากๆตรงที่ไม่กล้าลากเส้นเพิ่ม หรือสมมติมุม เพราะไม่เห็นว่าเพิ่มแล้วได้อะไร?

M@gpie · #6 10 มิถุนายน 2006, 21:41

มาแก้ตัวครับ ไม่รู้ว่าจะผิดอีกรึเปล่า อิอิ
จาก $ |ax^2+bx+c| \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] $ จะได้ว่า $ -1 \leq ax^2+bx+c \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] $
เมื่อ $ x=0 \rightarrow \; \; -1 \leq c \leq 1 $ เลือกให้ $ \; c=1 $
จะได้ $ -1 \leq ax^2+bx+1 \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] $
หรือ $ -2 \leq ax^2+bx \leq 0 \; \; , \; \forall x \in [0,1] $
เมื่อ $ x=1 \rightarrow \; \; -2 \leq a+b \leq 0 \; \; .........(1) $
เมื่อ $ x=\frac{1}{2} \rightarrow \; \; -2 \leq \frac{a}{4}+\frac{b}{2} \leq 0 \leftrightarrow -8 \leq a + 2b \leq 0 \; \; ........ (2)$
นำสมการ (2) - (1) จะได้ว่า $ -8 \leq b \leq 2 \; \; $ เลือกให้ $ \; b= -8 $
จาก (1) จะได้ $ -2 \leq a-8 \leq 0 \leftrightarrow \; -6 \leq a \leq 8 \; \; $ เลือกให้ $ \; a= 8 $
ดังนั้นค่ามากที่สุดคือ $ |a| +|b|+|c| = 17 $

passer-by · #7 11 มิถุนายน 2006, 03:04

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ prachya :
trick คือ พยายามปรับทุกข้อมูลที่ให้มา ให้อยู่ในรูปตัวแปรที่โจทย์ต้องการ ใช่หรือเปล่าครับ
ถึงเป็นเหตุผลที่ลากเส้น ตรงเชื่อมจุด E ขึ้นมา (ซึ่ง ไม่เคยอยู่ในหัวผมเลย ว่าจะสร้างมันขึ้นมา)
ผมนั่งทำอยู่นาน ใช้ law of cosine อย่างเดียว ติดเป็นดุ้นๆเต็มไปหมด T__T

ผมมีหลักในใจอยู่ว่า ถ้าข้อไหนใช้ตรีโกณมิติไม่ออก ก็ใช้เรขาคณิตจะดีที่สุด ครับ

ตอนแรกผมก็ใช้ law of cosine เหมือนกัน แต่ไม่มีอะไรดีขึ้น ก็เลย ลองใช้เรขาคณิต และในเมื่อ เขาต้องการความสัมพันธ์ด้าน ผมก็เลยนึกถึงสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งแน่นอนว่า ต้องมีการลากเส้นเพิ่มขึ้นมา

ส่วนถ้าถามว่า ควรลากเส้นไหน ยังไง อันนี้ ก็ต้องลองผิดลองถูกนิดหน่อยครับ แต่วิธีกึ่งๆมั่วพวกนี้ ก็ช่วยได้เยอะ เวลาทำเรขาคณิตครับ

prachya · #8 11 มิถุนายน 2006, 11:14

ยังคิดต่อยอดพี่กรไม่ออกเลยครับ เลยคิดแหวกแนว มั่วไปคนละเรื่องเลยครับ
ยังไงรบกวนพี่กร เฉลยแนวคิดพี่ด้วยนะครับ

ตอบเหมือนพี่ M@gpie แหละครับ

f(x) = ax²+bx+c มองว่าเป็นสมการพาราโบลา สมมติ a > 0

เงื่อนไข
Domain = [0 ,1]
Range = [-1,1]

ความยาว ratus rectum = 1/a
Vertex = ( $ -\frac{b}{2a} , c-\frac{b^2}{4a^2} $ )

พยายามทำให้ทุกค่ามากสุด
a มาก แสดงว่าพาราโบลาแคบ และจะแคบที่สุดเมื่อ Vertex อยู่ที่จุดต่ำสุด (1/2 , -1) และผ่านจุด (0 ,1 ) , ( 1 , 1 )
ซึ่งก็สอดคล้องกับค่าที่ทำให้ค่า c มากที่สุดเช่นกัน เพราะ $ \frac{b^2}{4a^2} $ณ 0
c มากที่สุดคือ c = 1

ดังนั้นจึงหาสมการพาราโบลาที่ผ่านจุด (0 , 1) , (1/2 , -1 ) , (1 , 1)
แล้วแก้สมการหา (a,b,c) = (8,-8,1) -> A_max = 17

โจทย์ที่พี่ Passer by ทิ้งท้ายไว้ ตอบ rm/2 ครับ

passer-by · #9 11 มิถุนายน 2006, 19:08

rm/2 ของน้อง prachya เป็นคำตอบที่ถูกแล้วครับ

ฟิตๆ อย่างนี้ ทำให้ผม นึกถึงคำถามข้อนึงขึ้นมาได้ (ซึ่งส่วนตัวก็ไม่ค่อยชอบข้อนี้เท่าไหร่)

หาชุดคำตอบ (a,b,c)ทั้งหมด ที่เป็นจำนวนเต็ม โดย b,c ณ 0 และสอดคล้องกับ

$ 5a^b - a^c= 144 $

(Source : adapted from ARML 2006)

ลองทำดูนะครับ

prachya · #10 11 มิถุนายน 2006, 22:26

ตอบ (2,5,4) , (6,2,2) , (-4,2,3) , (-6,2,2) รึเปล่าครับ (น่าจะมีบางคำตอบตกหล่นแน่เลย T_T )
ผมแจงกรณีค่อนข้างยาวเลย ครับ พี่ช่วยแนะนำวิธีที่ดีกว่าด้วยละกันครับ ถ้าพี่มีวิธีกระทัดรัดกว่านี้

กรณีง่ายๆก่อน a >0
5a^b - a^c = 144
a^b [5- a^c-b] = 144
ดังนั้น a จึงต้องเป็นตัวประกอบของ 144 = 2⁴x3²

และเนื่องจาก a>0 ทำให้ต้อง 5- a^c-b > 0 ด้วย
พบว่า 2^c-b > 0 ดังนั้น 5- a^c-b < 5 แน่นอน
ค่าของ 5 - a^c-b ที่เป็นไปได้ คือ 1,3,4 , 9/2

เลือกค่า a^b ที่มีโอกาสทำให้ 5-a ^c-b < 5 นั่นคือ 144=144x1 = 48x3 = 36x4 = 32 * 9/2

a^b = 6² --> 5 - 6 ^c-b = 4 -> ได้ (a,b,c) = (6,2,2)
a^b = 48¹ --> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง
a^b = 144¹ --> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง
a^b = 2⁵ --> 5 - 2^c-b = 9/2 -> ได้ (a,b,c) = (2,5,4)

มาดูที่ a < 0 กันบ้าง (อันนี้งานช้างนิดหน่อย T_T )
ผมแยกกรณี a เป็นคู่กะคี่ย่อยลงไปอีกที
เมื่อ a เป็นเลขคู่
พบว่า
[5 - a^b ] เป็นคี่แน่นอน ยกเว้น 4 ที่เป็นคู่ได้เพียงกรณีเดียว คี่ คือ +9 กรณีเดียวเช่นกัน
(อันที่จริงพิจารณา ฑ3 , ฑ9 เนื่องจากเป็นตัวประกอบของ 144 แต่ a,b เป็นจำนวนเต็ม จึงเป็นไปได้แค่ค่า +9)

[5- a^b = 9 ] --> a^b= (-4)¹
-> 144 = 16*9 = (-4)²[5- (-4)¹] --> (a,b,c) = (-4,2,3)

[5- a^b = 4 ] --> a^b = a⁰
--> 144 = 36 * 4 = (-6)² [5- (-6)⁰] --> (a,b,c) = (-6,2,2)

เมื่อ a เป็นเลขคี่
เป็นไปได้แค่ 2 กรณี เมื่อ a = -3 , -9
(-3)¹*-48 -> 5- (-3)^c-b = -48 -> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง
(-3)²*16 -> 5- (-3)^c-b = 16 --> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง
(-9)¹*-16 -> 5- (-9)^c-b = -16 -> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง

ปล. ผมทำซะยาวขนาดนี้ พี่ passer by เฉลย 2 บรรทัดแน่ๆเลย แหะๆ รู้สึกผมจะถนัดวิธีกรรมกรเน๊อะ T_T

passer-by · #11 12 มิถุนายน 2006, 05:37

ข้อนี้มี 7 คำตอบ ครับ

คำตอบที่เหลือ คือ (29,1,0) , (36,1,1) ,(-139,0,1)

สาเหตุที่ยกข้อนี้มาถาม เพราะ มันเป็นข้อสอบกรรมกร ที่ต้องใช้ความรอบคอบสูงพอสมควร

แต่เห็นเป็นข้อสอบกรรมกรอย่างนี้ ถ้าเริ่มต้นจัดระบบดีๆ ก็ช่วยผ่อนแรงไปได้ระดับหนึ่งนะครับ

เช่น เราอาจจะแบ่ง b,c เป็น 3 กรณีก่อน คือ

(1) b= c : a^b=36

(2) b > c : a^c(5a^b-c-1)=144

(3) b< c : a^b(5-a^c-b)=144

แล้วก็แยกคิดทีละกรณี ซึ่งก็อย่าลืมว่า a เป็นบวกหรือลบก็ได้ แต่ b,c ต้องเป็น nonnegative เท่านั้น

gon · #12 12 มิถุนายน 2006, 07:16

จาก $|2x - 1| \le 1$ ทุก $x \in [0, 1]$
ดังนั้น $0 \le (2x - 1)^2 \le 1 \iff 0 \le 2(2x-1)^2\le2 \iff -1 \le 2(2x-1)^2 -1 \le 1$
นั่นคือ $-1 \le 8x^2 - 8x + 1 \le 1 \iff |8x^2 - 8x + 1| \le 1$ นั่นเอง

prachya · #13 12 มิถุนายน 2006, 15:23

แหะๆ ผมคิดไม่ถึงจนได้ วิธีพี่กรง่ายกว่าแยะเลย
ผมเคยไปคิดตั้งต้นเลย แต่มันได้ค่าสูงสุดแค่ 3 ไม่รุ้ทำไมเหมือนกัน เลยเปลี่ยนวิธีซะ (ไปพาราโบลาจนได้)

โจทย์พี่ passer by ผมพลาดจนได้ แหะๆ
เสียดายคำตอบ (36 , 1 , 1 ) ที่ผมพลาดง่ายๆ
ส่วนอีก 2 คำตอบเป็นส่วนนึงที่คาใจแต่แรกแล้วครับว่า น่าจะมีคำตอบตกไป กรณีที่มีเศษส่วนมาเกี่ยวข้อง (กำลังติดลบ)