ขอวิธีพิสูจน์โจทย์ ห.ร.ม ค.ร.น ครับ

[amaze-man]

จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้
1. $(a,b) = (a,b+ax);x\in \mathbb{I} $
2. ถ้า$(a,b) = [a,b]$ แล้ว $a = b$
3. ถ้า$a\mid b$ และ $b\mid c$ และ$(a,b) = 1$ แล้ว $ab\mid c$
4. ถ้า P เป็นจำนวนเฉพาะ และ $p\nmid a$ ก็ต่อเมื่อ $(p,a) = 1$
5. ถ้า $d = ([a,b],c)$ และ $m = (\frac{ab}{(a,b,c)},c)$ แล้ว $d\mid m$

[sahaete]

ข้อ 1 ให้ d=(a,b) และ d'=(a,b+ax)

จาก d'=(a,b+ax) จะได้ว่า d'|a และ d'|b+ax ทำให้ d'|(b+ax)-ax หรือ d'|b
จาก d'|a และ d'|b จะได้ว่า $\quad d'\leqslant d$

จาก d|a และ d|b ทำให้ d|b+ax จะได้ว่า $\quad d\leqslant d'$

ดังนั้นทำให้ $\quad d'\leqslant d\quad $ และ $\quad d\leqslant d'\quad$ หรือ d=d' นั่งเอง

[sahaete]

ข้อ 3

จาก b|c ได้ c=bm
จาก a|b และ b|c ทำให้ a|c ด้วย หรือ c=an

และจาก (a,b)=1 จะได้ 1=ax+by
คูณ c ได้ c=acx+bcy
แทนค่า c ได้ c=abmx+bany
c=ab(mx+ny)
หรือ ab|c

[amaze-man]

ขาไป
จาก (a,b+ax)
จะได้ว่า $d\mid a$ และ $d\mid b+ax$
จะได้ $dA = a , dB = b+ax$
จากนั้นแทนค่า a จะได้ว่า
dB = b+dAx
dB-dAx = b
d(B-Ax) = b
จะได้ว่า $d\mid a และ d\mid b$
----------------------------------------------------
ขากลับ
จาก (a,b)
จะได้ว่า $d\mid a และ d\mid b$ ;$d\in \mathbb{I} $
จะได้$dA=a และ dB=b$ ;$A,B\in \mathbb{I} $
จาก $d\mid bจะต้องแสดงว่า d\mid b+ax$
จาก $d \mid b$
จะได้ $dB=b$
บวกด้วย ax $dB+ax = b+ax$
แทนค่า a จะได้ $dB+dAx = b+ax$
$d(B+Ax) = b+ax$
ดังนี้น $D\mid b+ax$
----------------------------------------------------
ดังนั้น $(a,b) = (a,b+ax)$

(แก้แล้วนะครับไม่รู้ถูกรึยังอ่าครับ)

[amaze-man]

ถ้า (a,b) = [a,b] แล้ว a = b
จาก (a,b) และ [a,b]
จะได้$d\mid a และ d\mid b$
จะได้$a\mid d และ b\mid d$
เนื่องจาก $d\mid a$ และ $a\mid d$ ดังนั้นa=d
เนื่องจาก $d\mid b$ และ $b\mid d$ ดังนั้นb=d
ดังนั้น a=b

[amaze-man]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete

ข้อ 3

จาก b|c ได้ c=bm
จาก a|b และ b|c ทำให้ a|c ด้วย หรือ c=an

และจาก (a,b)=1 จะได้ 1=ax+by
คูณ c ได้ c=acx+bcy
แทนค่า c ได้ c=abmx+bany
c=ab(mx+ny)
หรือ ab|c

[amaze-man]

ข้อ 4 กับ 5 นี่ไปไม่เป็นเลยครับ
ไม่ทราบว่าจะมีจอมยุทธท่านใดชี้แนะได้บ้าง

[Beatmania]

ข้อ 4 ขากลับ ลองเขียน $a$ ในรูป $kp+r$ ($\exists k r \in \unicode{8469} $) (รูป Division Algorithm)

แล้วจะได้ว่า $r\not= 0$ จากโจทย์

ทำให้ $p\nmid r$ ส่งผลต่อให้ $p\nmid kp+r$ หรือ $p\nmid a$ นั่นเองครับ

ขาไป ให้ $d = (a,p)$ จะได้ว่า $d|p$ และ $d|a$

มี 2 กรณีคือ $d=1$ และ $d=p$

ถ้า d=p จะได้ $p|a$ ข้ดแย้งกับโจทย์ ดังนั้น $d=1$

[amaze-man]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ข้อ 4 ขากลับ ลองเขียน $a$ ในรูป $kp+r$ ($\exists k r \in \unicode{8469} $) (รูป Division Algorithm)

แล้วจะได้ว่า $r\not= 0$ จากโจทย์

ทำให้ $p\nmid r$ ส่งผลต่อให้ $p\nmid kp+r$ หรือ $p\nmid a$ นั่นเองครับ

ขาไป ให้ $d = (a,p)$ จะได้ว่า $d|p$ และ $d|a$

มี 2 กรณีคือ $d=1$ และ $d=p$

ถ้า d=p จะได้ $p|a$ ข้ดแย้งกับโจทย์ ดังนั้น $d=1$

ขอบคุณมากครับ

[sahaete]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ amaze-man

จะได้ว่า $d\mid a และ d\mid b$
---------------------------------
จาก (a,b)
จะได้ว่า $d\mid a และ d\mid b$
-----------------------------------
ดังนั้น $(a,b) = (a,b+ax)$

บทนิยาม หรม. มี 2 ข้อครับ
1. d|a and d|b เรียก d ว่า เป็นตัวหารร่วม ครับ ไม่ใช่ ห.ร.ม
2. แต่ถ้าพิสูจน์ได้ว่า มี c|a and c|b และ c|d (c$\leqslant $d)

จึงสามารถสรุปได้ว่า d เป็น หรม. ครับ

[Euler-Fermat]

4.ขาไป ชัดเจน อยู่แล้ว
ขากลับ อาจจะเขียน $ax+py =1 $สำหรับ บาง จำนวนเต็ม $x,y$ นะครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 4 ขากลับก็ชัดเจนอยู่นะครับ
ใช้ contrapositive ให้ $p|a$ แล้วพิสูจน์ว่า $(p,a) \not= 1$
ข้อ 5
พิสูจน์ได้โดยไม่ยากว่า $[a,b]|\dfrac{ab}{(a,b,c)}$
และจาก $d|[a,b]$

จะได้ $d|\dfrac{ab}{(a,b,c)}$
และจาก $d|c$
ก็จะได้โดยไม่ยากว่า $d|(\dfrac{ab}{(a,b,c)},c)$

[amaze-man]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ข้อ 4 ขากลับก็ชัดเจนอยู่นะครับ
ใช้ contrapositive ให้ $p|a$ แล้วพิสูจน์ว่า $(p,a) \not= 1$
ข้อ 5
พิสูจน์ได้โดยไม่ยากว่า $[a,b]|\dfrac{ab}{(a,b,c)}$
และจาก $d|[a,b]$

จะได้ $d|\dfrac{ab}{(a,b,c)}$
และจาก $d|c$
ก็จะได้โดยไม่ยากว่า $d|(\dfrac{ab}{(a,b,c)},c)$

เอิ่ม ผมงงว่า ทำไมสามารถแทน $[a,b] ด้วย \dfrac{ab}{(a,b,c)}$ ได้ครับ
เหมือนมันมีเป็น ทฤษฎี หรือ ปล่าว ครับ