ช่วยด้วยครับ คิดไม่ออกเลยครับ T_T

[กะทิบูด]

2) กำหนด $n∈I^+$จงแสดงว่า 33 | ($5^{2n+1}$+$11^{2n+1}$+$17^{2n+1}$)

3) จำนวนเต็มบวก $2001^{2001}$ มี 15 หลักสุดท้ายเป็นเลขอะไร

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กะทิบูด

1) มีจำนวนเต็มคู่ $n$ กี่จำนวน ซึ่ง 0 $\le n\le100$ และ $5|n^2 2^{2n^2}+1$

hint

ดูเลขคู่ใน mod 10

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กะทิบูด

2) กำหนด $n \in I^+$ จงแสดงว่า $33 | 5^{2n+1} +11^{2n+1} + 17^{2n+1}$

hint

แสดงว่าเทอมด้านบนหารด้วย 11 และ 3 ลงตัว

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กะทิบูด

3) จำนวนเต็มบวก $2001^{2001}$ มี 15 หลักสุดท้ายเป็นเลขอะไร

hint

ใช้ทฤษฏีบททวินามกับ $(2000+1)^{2001}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กะทิบูด

4) จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $29^{30}+31^{28}+28!(30!)$ ด้วย (29)(31)

hint

Fermat little theorem + Wilson's theorem

[amaze-man]

ขอบคุณมากครับที่ Hint ไห้ (แต่ยังทำไม่ได้อะคับ)

Fermat little theorem + Wilson's theorem ยังไม่ได้เรียนเลยอะคับ

$28!(30!)\equiv d(mod31)$ จงหาค่า d

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ amaze-man

$28!30!\equiv d\pmod{31}$ จงหาค่า $d$

เพราะ 31 เป็นจำนวนเฉพาะ โดย Wilson จะได้ $30!\equiv -1\pmod{31}$
ดังนั้น $(30!)^2\equiv 30\cdot29\cdot28!30! \equiv 2\cdot 28!30!\equiv 1\pmod{31}$
ทำให้ $16\cdot2\cdot 28!30!=32\cdot 28!30!\equiv28!30!\equiv 16\pmod{31}$

[amaze-man]

แล้วข้อ 4 ตอบอะไรหรอคับ

[nongtum]

#5
668 ครับ

[amaze-man]

ได้แล้ว ครับ ขอบคุณมาก ๆ ครับ

ขอถามอีกข้อนะครับ###
5. กำหนด $n \in I^+$ จงแสดงว่า 33|($5^{2n+1}$+$11^{2n+1}$+$17^{2n+1}$)

[ช้างน้อย]

ขอบคุณ "nongtum" มากๆๆครับ


จาก..เพื่อน "กะทิบูด" "Ameze-man"

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ amaze-man

ได้แล้ว ครับ ขอบคุณมาก ๆ ครับ

ขอถามอีกข้อนะครับ###
5. กำหนด $n \in I^+$ จงแสดงว่า 33|($5^{2n+1}$+$11^{2n+1}$+$17^{2n+1}$)

ใช้ induction ก็ได้ครับ

หรือว่าจะใช้ modulo อย่างงี้ครับ

$33=3\times 11$

$5^{2n+1}\equiv -1 (mod {3})$ เพราะอะไร???

$11^{2n+1}\equiv -1 (mod {3})$

$17^{2n+1}\equiv -1 (mod {3})$

บวกกันก็จะได้ว่าหาร 3 ลงตัว

กรณี 11 ก็ทำคล้ายๆกันครับ

ก็จะได้ว่า 33|($5^{2n+1}$+$11^{2n+1}$+$17^{2n+1}$) ครับ

[amaze-man]

ทำได้เเล้วครับ ขอบคุณมากครับ ^^''