การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)

[kongp]

ศึกษา B-Spine ดูครับ ทั้งนี้อาจารย์ท่านอื่นอาจจะว่า ไม่น่าบอกน้องเช่นนี้ ผมสายอเมริกา ไม่ใช่สายยุโรป ดิบเถื่อนค่อนข้างจะมาก

ตอนเรียนไม่ว่าเรื่องอะไรที่มีในโลก ก็ต้องศึกษา น้องลองตรองดูนะ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

ศึกษา B-Spine ดูครับ ทั้งนี้อาจารย์ท่านอื่นอาจจะว่า ไม่น่าบอกน้องเช่นนี้ ผมสายอเมริกา ไม่ใช่สายยุโรป ดิบเถื่อนค่อนข้างจะมาก

ตอนเรียนไม่ว่าเรื่องอะไรที่มีในโลก ก็ต้องศึกษา น้องลองตรองดูนะ

ขอบคุณครับสำหรับคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ คือทฤษฎีกราฟพหุนามกำลังสามและกำลังสี่ที่ผมได้เขียนขึ้นมาเกิดมาจากทฤษฎีทางแคลคูลัสและใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ในระดับชั้นมัธยมปลายไปจั บคำนิยามหรือศัพท์ที่ใช้บางคำก็คิดขึ้นมาใหม่อาจจะมีความผิดพลาดอยู่บ้าง คำแนะนำต่างๆจึงเป็นประโยชน์มาก และถ้ายังพอมีเวลาอยู่ผมจะนำตัวอย่างทางพืชคณิตมาลงประกอบให้คู่กับทฤษฎีที่ผมเขียนเผื่อจะเป็นประโยชน์แก่ผู้ที่สนใจไม่มากก็น้อยครับ

[tngngoapm]

เช่น ถามว่า $x^4+4x^3-2x^2+x-5=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงกี่ค่า
วิธีหนึ่งที่สามารถวิเคราะห์คำตอบเบื้องต้นคือการวาดกราฟพหุนามกำลังสี่ $y=x^4+4x^3-2x^2+x-5$
.....หาค่าพารามิเตอร์ต่างๆ $r,a,f(r),b,e$
1) $y=x^4+4x^3-2x^2+x-5......ได้ A=1,B=4,C=-2,D=1,E=-5$
2) $r=-\frac{B}{4A}=-\frac{4}{4(1)} =-1$
3) $a=\frac{\sqrt{9B^2-24AC} }{12A} =\frac{\sqrt{9(4^2)-24(1)(-2)} }{12(1)} =\frac{2\sqrt{3} }{3}$
4) $f(r)=f(-1)=(-1)^4+4(-1)^3-2(-1)^2+(-1)-5 =-11$
5) $b=D-\frac{4ABC-B^3}{8A^2} =1-\frac{4(1)(4)(-2)-4^3}{8(1^2)}=13$
6) $e=f(r)-5Aa^4 =-11-5(1)(\frac{2\sqrt{3} }{3})^4=-\frac{179}{9} $
.....ค่าต่างๆที่หาได้ วิเคราะห์ได้ว่า
1) $a$เป็นจำนวนจริงและ $b\not= 0$ แสดงว่าเป็นกราฟงูชนิด 3R2I หรือ 1R2I
2) ค่า $8Aa^4\leqslant b<8\sqrt{5}Aa^4......12.317\leqslant b<27.541$ ลองแทนค่าดู
แสดงว่าเป็นชนิด 1R2I คือ เป็นกราฟงูที่มีกระดูกงูและมีจุดวกกลับ 1จุด จุดเปลี่ยนเว้า 2 จุด
แกนกระดุกงูมีสมการเป็น $y=b(x-r)+e=13(x+1)-\frac{179}{9} $
......................
ส่วนรายละเอียดอื่นๆลองแกะดูตามรายละเอียดที่ผมแสดงไว้ก่อนหน้านะครับ จะได้ว่าสมการ$x^4+4x^3-2x^2+x-5=0$จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง จำนวน 2 ค่า
แก้ไขเพิ่มเติมรูปภาพแนบ:ระยะ$\sqrt{5}a=\frac{2\sqrt{15}}{3} $ในรูปต้องวัดจากระยะ$-1ถึง-3.58$นะครับไม่ใช่ระยะจาก$-2.15ถึง-3.58$ตามรูปแนบ

[tngngoapm]

ช่วงนี้ขอออกชิ้นงานมาเล่าสู่กันฟังอีกสักชิ้นนะครับ....ประโยชน์ในการนำสมการพหุนามกำลังสามมาใช้แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น.....
.....ในเรื่องของสามเหลี่ยม เช่นถ้ากำหนดสามเหลี่ยมมารูปหนึ่งมีพื้นที่เท่ากับ 6 ตารางหน่วย มีรัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมเท่ากับ 1 หน่วย และมีรัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมเท่ากับ 2.5 หน่วย ถามว่าสามเหลี่ยมรูปนี้มีด้านทั้งสามยาวเท่าใดบ้าง?.....
......ก่อนอื่นในหลักการถ้าเราทราบพื้นที$(A)$และรัศมีวงกลมแนบใน$(r)$ เราสามารถหาค่าของ $(s=\frac{a+b+c}{2})$ ได้โดยสูตร.....$A=rs$...ซึ่งจะได้ค่าของ $a+b+c$ ออกมา
......ต่อไปโดยค่าของพื้นที่$(A)$และรัศมีวงกลมล้อมรอบ$R$ เราสามารถหาค่าของ $abc$ ออกมาได้ โดยสูตร.....$A=\frac{abc}{4R} $
.....ต่อมาโดยสูตรพื้นที่ $(A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} )$กระจายค่าต่างๆ โดยรู้ค่าของ $s,abc,(a+b+c)$ ก็สามารถหาค่าของ $ab+bc+ca$ ได้
......นำมาสร้างสมการพหุนามกำลังสาม $x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0$ โดยตอนนี้เราทราบค่า $a+b+c,ab+bc+ca,abc$ หมดแล้ว แก้สมการก็จะได้ค่า $x=a,b,c$ ในที่สุด
.....ที่อธิบายมานี่โดยหลักการนะครับ ต้องอาศัยความเข้าใจและทักษะทางพีชคณิตพอสมควร
.....ถ้าย่นระยะเวลาเอาก็สามารถใช้สูตรที่สามารถหาสมการกำลังสามได้เลยดังนี้ครับ $$x^3-\frac{2A}{r}x^2+(\frac{A^2}{r^2} +r^2+4Rr)x-4AR=0$$
โดย $A=พื้นที่สามเหลี่ยม , R=รัศมีวงกลมล้อมรอบ , r=รัศมีวงกลมแนบใน$
.....ลองแทนค่า $A=6,R=2.5,r=1$ ดูครับจะได้สมการกำลังสาม $x^3-12x^2+47x-60=0$ แก้สมการแยกตัวประกอบได้ $x=3,4,5$ สำหรับข้อที่แยกตัวประกอบจำนวนตรรกยะไม่ได้ก็หารากของสมการเอาครับ
.....โดยวิธีการนี้ถ้าเราทราบพื้นที่ของสามเหลี่ยม รัศมีวงกลมแนบใน และรัศมีวงกลมล้อมรอบ เราสามารถวิเคราะห์ได้ว่าเราสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่มีสมบัติดังกล่าวได้หรือไม่สามารถสร้างได้ และถ้าได้แล้วก็สามารถรู้ว่าแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมีขนาดเท่าใดด้วย

[tngngoapm]

.....อีกหนึ่งตัวย่างของการนำสมการพหุนามกำลังสามไปใช้ก็คือในทางวิศวกรรมอย่างเช่นในการหาระยะค่าการแอ่นตัวของคาน ในทางวิศวกรรมเป็นที่ทราบกันว่าค่าการแอ่นตัวของคานนั้นขึ้นอยู่กับค่าโมเมนต์ดัดที่คานได้รับ รวมถึงขึ้นอยู่กับลักษณะของความแข็งเกร็งของวัสดุที่ใช้ทำคาน รวมถึงลักษณะรูปร่างหรือพื้นที่หน้าตัดของคานนั้นด้วย.....

.....ซึ่งการหาค่าการแอ่นตัวของคานนั้นมีประโยชน์ในการออกแบบคานและยังใช้ประโยชน์ในการคำนวณโครงสร้างแบบ
Indeterminate ที่เงื่อนไขที่ได้จากสมการนิวตันไม่เพียงพออีกด้วย.....

.....แต่ในที่นี้ผมจะกล่าวถึงการนำรูปแบบหรือกราฟของสมการกำลังสามมาใช้หาสมการการแอ่นตัวของคานทางวิศวกรรม
โดยเน้นไปที่วิธีทางคณิตศาสตร์เชื่อมโยงไปถึงหลักการทางวิศวกรรม โดยอันดับแรกเราต้องมาทำความรู้จักกับรูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสามแบบตัวZก่อนคือ...$(y-k)=A[(x-h)^3-3a^2(x-h)]$ เมื่อ (h,k) เป็น inflection point ของกราฟ และ a,A เป๋นค่าคงที่ที่เกี่ยวกับความแอ่นโค้งของกราฟ ซึ่งผมได้อธิบายเป็นรูปแนบอย่างละเอียด.....

.....หลักการให้ดูที่สมการโมเมนต์ ให้สร้างสมการโมเมนต์ของคานออกมา โดยกำหนดเครื่องหมายให้โมเมนต์ตามเป็น+ และโมเมนต์ทวนเป็น- ......ถ้าสมการโมเมนต์เป็นสมการกำลังหนึ่ง สมการการแอ่นตัวจะเป็นสมการกำลังสามแต่ถ้าสมการโมเมนต์เป็นสมการกำลังสอง สมการการแอ่นตัวจะเป็นสมการกำลังสี่

.....จากรูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสาม $(y-k)=A[(x-h)^3-3a^2(x-h)]$ เมื่อพิจารณาองศาความเป็นอิสระของกราฟ จะเห็นว่ามี degree of freedom=4 ในการแก้ปัญหาจึงต้องการเงื่อนไขอย่างน้อย 4 เงื่อนไขมาแก้สมการ แต่ในเรื่องของการแอ่นตัวของคานอย่างง่าย(Simple beam) ค่า (h,k) เราสามารถทราบได้ก็คือจุดที่คานมีโมเมนต์เป็นศูนย์ เพราะฉะนั้นทำให้องศาความเป็นอิสระเหลือแค่ 2 ก็เป็นการไม่ยากนั้นโดยการพิจารณาจุดต่อของสมการโมเมนต์ 2 สมการคือระยะแอ่นต้องเท่ากันและslopeการแอ่นต้องเท่ากันด้วย ก็น่าจะได้สมการการแอ่นตัวในที่สุด

.....เพื่อให้เห็นภาพถึงการนำกราฟสมการกำลังสามไปประยุกต์ใช้ในทางวิศวกรรมฯ ก็ขอยกตัวอย่างSimple beamอย่างง่ายที่สุดคือมีแรงกดลงคานตรงตำแหน่งกลางคานพอดี...ลองพิจารณาความถูกผิดกันดูนะครับ ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

.....มีผิดในรูปแนบแผ่นที่(5)ตรงเครื่องหมาย+/-ครับ แก้ให้แล้วตามรูปแนบข้างล่างครับ ลบรูปแล้วเพิ่มไม่เป็นครับ

[tngngoapm]

ขอออกแนวฟิสิกส์หน่อยๆนะครับหวังว่าคงไม่ว่ากัน......
......ในกรณีคานอย่างง่ายคือมีฐานรองรับที่ปลายทั้งสองข้าง และมีน้ำหนักตกตรงกลางคานพอดี
ลักษณะการแอ่นตัวของคานไม่ใช่โค้งพาราโบลาแต่โค้งการแอ่นตัวมีลักษณะคล้ายส่วนหนึ่งของโค้งพหุนามกำลังสาม
แน่นอนว่าการแอ่นตัวที่เกิดขึ้นมากที่สุดก็ตรงตำแหน่งกึ่งกลางคานหรือตรงที่น้ำหนักตกกระทำนั่นเอง.....
.......และเช่นเดียวกันถ้าน้ำหนักเขยิบออกไปจากตำแหน่งกึ่งกลางสมมติว่าออกมาทางขวาสักประมาณหนึ่ง
ตำแหน่งที่เกิดระยะแอ่นตัวมากที่สุดก็จะเขยิบมาทางขวาด้วย การใช้รูปแบบมาตรฐานของกราฟกำลังสาม
มาหาโค้งกำลังสามการแอ่นตัวก็ยังใช้ได้อยู่ และจะมีความซับซ้อนขึ้นแต่ยังอยู่บนหลักการเดิม......
......ด้วยวิธีนี้จะได้โค้งการแอ่นตัวของคานอย่างง่ายสำหรับแรงตกกระทำ 1 แรง ซึ่งเมื่อนำมาวิเคราะห์
รวมกับหลักการรวมกันทางคณิตศาสตร์(Superposition) จะทำให้ได้โค้งการแอ่นตัวของคานอย่างง่ายสำหรับแรงตกกระทำหลายแรง
และนำไปสู่การหาค่าระยะแอ่นตัวมากที่สุดได้ ซึ่งผมจะค่อยๆนำเสนอในโอกาสต่อไป ผิดพลาดประการใดขออภัยด้วยขอบคุณครับ......

[tngngoapm]

แก้ไขรูปสมการโมเมนต์นิดครับ

[tngngoapm]

เมื่อx,yและzเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
$$\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{z} $$
จะไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะx,y,zพร้อมกันทั้งสามค่าได้
เว้นแต่ทั้งสามค่าจะเป็นกำลังสามสมบูรณ์
ตัวอย่าง
1) $\sqrt[3]{8} +\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{125} $
จะเห็นว่าทั้ง 8,27,125เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์
2) $\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{5+3\sqrt[3]{18} +3 \sqrt[3]{12}} $
จะเห็นว่าถ้าตัวเลขในรากไม่ใช่กำลังสามสมบูรณ์ก็จะมีตัวเลขใดตัวเลขหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะอย่างน้อย1ค่าเสมอ
3)$ \sqrt[3]{3-\sqrt{5} }+ \sqrt[3]{1+\sqrt{5} }= \sqrt[3]{7+3\sqrt{5} } $
จะเห็นว่าตัวเลขในรากเป็นจำนวนอตรรกยะทั้งสามค่า แต่แทบมองไม่ออกเลยว่าเท่ากันได้ยังไง
4)$\sqrt[3]{\sqrt{5}-1}+ \sqrt[3]{3+\sqrt{5} } =\sqrt[3]{11+5\sqrt{5} } $
อันนี้แถมให้เหมือนกับตัวอย่างที่สาม
ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

เมื่อx,yและzเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
$$\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{z} $$
จะไม่สามารถหาจำนวนตรรกยะx,y,zพร้อมกันทั้งสามค่าได้
เว้นแต่ทั้งสามค่าจะเป็นกำลังสามสมบูรณ์
ตัวอย่าง
1) $\sqrt[3]{8} +\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{125} $
จะเห็นว่าทั้ง 8,27,125เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์
2) $\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{5+3\sqrt[3]{18} +3 \sqrt[3]{12}} $
จะเห็นว่าถ้าตัวเลขในรากไม่ใช่กำลังสามสมบูรณ์ก็จะมีตัวเลขใดตัวเลขหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะอย่างน้อย1ค่าเสมอ
3)$ \sqrt[3]{3-\sqrt{5} }+ \sqrt[3]{1+\sqrt{5} }= \sqrt[3]{7+3\sqrt{5} } $
จะเห็นว่าตัวเลขในรากเป็นจำนวนอตรรกยะทั้งสามค่า แต่แทบมองไม่ออกเลยว่าเท่ากันได้ยังไง
4)$\sqrt[3]{\sqrt{5}-1}+ \sqrt[3]{3+\sqrt{5} } =\sqrt[3]{11+5\sqrt{5} } $
อันนี้แถมให้เหมือนกับตัวอย่างที่สาม
ขอบคุณครับ

นี่ครับสมการกำลังสามสำหรับหาค่าzเมื่อรู้ค่าxและy
$$z^3-3(x+y)z^2+[3(x+y)^2-27xy]z-(x+y)^3=0$$

[tngngoapm]

ถ้า $a,b,c$ เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนจริงแล้ว
และ $a+b+c=\alpha $, $ab+bc+ca=\beta $
โดยกำหนดให้
$r=\frac{\alpha }{3} $
$p=\frac{\sqrt{\alpha ^2-3\beta } }{3} $
จะได้ว่าทุกๆจำนวนจริงa,bและc $$r^3-3p^2r-2p^3\leqslant abc\leqslant r^3-3p^2r+2p^3$$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ถ้า $a,b,c$ เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนจริงแล้ว
และ $a+b+c=\alpha $, $ab+bc+ca=\beta $
โดยกำหนดให้
$r=\frac{\alpha }{3} $
$p=\frac{\sqrt{\alpha ^2-3\beta } }{3} $
จะได้ว่าทุกๆจำนวนจริงa,bและc $$r^3-3p^2r-2p^3\leqslant abc\leqslant r^3-3p^2r+2p^3$$

ยกตัวอย่างเช่น
สมการกำลังสาม$x^3-3x^2+2x+1=0$ มีรากเป็นจำนวนจริงกี่จำนวน
จะได้ $\alpha =3 , \beta =2และ abc=-1$
และคำนวณ $r=1 , p=\frac{\sqrt{3} }{3} $
จะได้ $ - \frac{2\sqrt{3} }{9} \leqslant abc\leqslant \frac{2\sqrt{3} }{9} $
แสดงว่าค่า $abcไม่อยู่ในช่วงของรากจำนวนจริง3ค่า$
สมการ$x^3-3x^2+2x+1=0$จึงมีรากเป็นจำนวนจริงแค่1จำนวนเท่านั้น

[tngngoapm]

การนำพหุนามไปประยุกต์กับเรขาคณิตของสามเหลี่ยม

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

............คือจะเป็นกราฟงูแบบที่ไม่มีกระดูกงูแต่จะมีเพียงแกนสัมผัสอ้างอิง และมี 1 จุดวกกลับเท่านั้น
............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีเกณฑ์ในการบอกว่าเป็นกราฟนี้หรือไม่ดูจากค่า $9B^2-24AC <0$ และค่า $D\not= \frac{4ABC-B^3}{8A^2}$
............พหุนามกำลังสี่แบบไม่มีกระดูกงูชนิด 1R จะมีลักษณะสำคัญคือมีลักษณะเป็นโค้งหงายหรือโค้งคว่ำแบบไม่สมมาตร และทอดเอียงไปตามแกนเส้นสัมผัสอ้างอิงโดยถ้า
$A>0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่เหนือแกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$แต่ถ้า$A<0 กราฟจะทอดตัวเอียงอยู่ใต้แกนเส้นสัมผัสอ้างอิง$

อย่างเช่น...กราฟของพหุนาม...$y=x^4+3x^2+10x+4$
มีลักษณะจุดวกกลับจุดเดียวแบบไม่สมมาตร

มีพารามิเตอร์ประมาณนี้...
//สัมประสิทธิ์...$A=1,B=0,C=3,D=10และE=4$
//จุดหมุน...$r=0$
//ประเภทการหมุน...$a'=\frac{\sqrt{2} }{2} $
//แกนหมุน...$y=10x+4$
//พารามิเตอร์...$\rho'=\frac{5}{\sqrt{2}} $
//มุมไซน์ไฮเปอร์โบลิก...$\beta=\frac{1}{3} sinh^{-1}(\rho') \approx 1.9754$
//ตำแหน่งวกกลับ...$x=r-2a'sinh(\beta)=(-1)$
...ทำให้บอกได้ว่าฟังก์ชันนี้มีค่าต่ำสุดที่...$x=(-1)$
คือมีค่าต่ำสุดเท่ากับ...$(-2)$

[tngngoapm]

ถ้า $a,b,c$ เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนจริง
ในเงื่อนไขที่ $a\leqslant b\leqslant c...,a+b+c=\alpha ..., ab+bc+ca=\beta $แล้ว
จะสามารถระบุขอบเขตของจำนวน$a,b,c$ได้
$$a\in \left[r-2p,r-p\right]...,b\in \left[r-p,r+p\right]
และ...c\in \left[r+p,r+2p\right] $$โดยที่$r=\frac{\alpha }{3} $...,$p=\frac{\sqrt{\alpha ^2-3\beta } }{3} $