ท่านผู้รู้ช่วยตอบด้วยคับ งงอีกแล้วคับ(สัมประสิทธิ์ทวินาม และอเนกนาม)

[S[a]T[a]N S(anzo)N]

วันนี้ผมเรียนการหาสัมประสิทธิ์คับ อาจารย์สั่งการบ้านคับ ผมงงมากเลย ไม่เข้าใจเลยคับ กะจะให้เพื่อนสอนกลายเป็นงงไปกับใหญ่เลยคับ นั่งจมอยู่นานแล้วคับ ยังทำไม่ได้เลย (ขอความกรุณาด้วยนะคับ)(อยากให้แสดงวิธีคิดกับคำตอบด้วยนะคับ)

1. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{12}_{1}$ ในการกระจายของ $(X_1+X_2+...+X_k)^{12}$

2. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $W^{2}X^{3}y^{2}Z^{5}$ ในการกระจายของ $(2w+x+3y+z)^{12}$

3. จงหาผลรวมของสัมประสิทธิ์ในการกระจาย $(x+y+z)^{8}$

4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $s^{6}t^{6}$ ในการกระจายของ $(2s-t)^{12}$

ขอรบกวนด้วยนะคับ ขอบคุณมากนะคับท่าน

ป.ล. อ่านเจอคับ ให้ XและY เป็นเซตจำกัด โดยที่ lXl>lYl และให้ f:X \longrightarrow Y เป็นฟังก์ชัน จงแสดงว่า มีสมาชิกของ X อย่างน้อย 2 ตัว ที่มีภาพภายใต้ฟังก์ชัน f เท่ากัน
ผมเลยอยากถามผู้รู้ว่ามันคิดยังไงอ่ะคับ

[RedfoX]

ข้อ1.ง่ายมาก
\[
[x_1 + (x_2 + ... + x_k )]^{12}
\]
คงมองออกนะครับ
2. นอกจากกระจายตรงๆผมยังคิดไม่ออก แต่น่าจะหา พจน์ที่มีแซดกำลัง5ก่อน โดยใช้วิธีการแบ่งวงเลบครับ
3. ข้อนี้เคยทำแบ่งเป็น2 วงเล็บ เช่น วงเล็บ x + วงเล็บ (y+z) แล้วกระจายต่อไปเรื่อยๆครับ
4. ใช้สูตรสปสที่ว่า

\[
T_{r + 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
r \\
\end{array}} \right)a^{n - r} b^r
\]

[nooonuii]

รู้จัก Multinomial Theorem มั้ยครับ ถ้ายังไม่รู้จักไม่เป็นไรครับเพราะกำลังจะได้รู้จักแล้ว

Multinomial Theorem $$(X_1+\cdots +X_m)^n=\sum_{k_1,k_2,...,k_m}\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$$
เมื่อ $k_i\geq 0$ และ $k_1+k_2+\cdots + k_m=n$

ตัวอย่าง $(X+Y+Z)^3=X^3+Y^3+Z^3 +3X^2Y+3X^2Z+3XY^2+3XZ^2+3Y^2Z+3YZ^2+6XYZ$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ S[a]T[a]N S(anzo)N

ป.ล. อ่านเจอคับ ให้ $X$ และ $Y$ เป็นเซตจำกัด โดยที่ $|X| > |Y|$ และให้ $f:X \longrightarrow Y$ เป็นฟังก์ชัน จงแสดงว่า มีสมาชิกของ $X$ อย่างน้อย $2$ ตัว ที่มีภาพภายใต้ฟังก์ชัน $f$ เท่ากัน
ผมเลยอยากถามผู้รู้ว่ามันคิดยังไงอ่ะคับ

รู้จักหลักการรังนกพิราบรึยังครับ

หลักการรังนกพิราบ
สมมติว่ามีรังนกอยู่ $n$ รัง และมีนกพิราบอยู่ $m$ ตัว โดยที่ $m>n$ ถ้าจับนกพิราบทั้งหมดมาไว้ในรังจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกอย่างน้อยสองตัวขึ้นไป

ยังมีทฤษฎีที่ดีกว่านี้ครับแต่ผมขออธิบายง่ายๆแบบนี้ก็แล้วกัน หลักการนี้ถ้าอ่านตัวทฤษฎีอย่างเดียวจะงงครับ ลองวาดภาพประกอบจะทำให้มองง่ายขึ้น เป็นหลักการที่เรียบง่ายแต่มีประโยชน์มากมายครับ

คราวนี้ก็มาดูที่ปัญหาของเรา
ให้รังนกเป็น สมาชิกใน $Y$ เราจะได้ว่ามีรังนกอยู่ $|Y|$ รัง
ให้นกพิราบคือสมาชิกใน $X$ เราจะได้ว่ามีนกพิราบอยู่ $|X|$ ตัว ซึ่ง $|X|>|Y|$ (มีนกมากกว่ารัง)
ทุกสมาชิกใน $X$ จะต้องถูกส่งไปยังสมาชิกใน $Y$ อย่างน้อยหนึ่งตัว
(ความหมายเดียวกับจับนกทุกตัวไปใส่รัง)
ดังนั้นโดยหลักการรังนกพิราบจะต้องมีรังอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกอย่างน้อยสองตัว
นั่นคือจะมีสมาชิกใน $Y$ ซึ่งมีสมาชิกใน $X$ ส่งมาหามันอย่างน้อย $2$ ตัว

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ S[a]T[a]N S(anzo)N

วันนี้ผมเรียนการหาสัมประสิทธิ์คับ อาจารย์สั่งการบ้านคับ ผมงงมากเลย ไม่เข้าใจเลยคับ กะจะให้เพื่อนสอนกลายเป็นงงไปกับใหญ่เลยคับ นั่งจมอยู่นานแล้วคับ ยังทำไม่ได้เลย (ขอความกรุณาด้วยนะคับ)(อยากให้แสดงวิธีคิดกับคำตอบด้วยนะคับ)

1. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{12}_{1}$ ในการกระจายของ $(X_1+X_2+...+X_k)^{12}$

2. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $W^{2}X^{3}y^{2}Z^{5}$ ในการกระจายของ $(2w+x+3y+z)^{12}$

3. จงหาผลรวมของสัมประสิทธิ์ในการกระจาย $(x+y+z)^{8}$

4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ $s^{6}t^{6}$ ในการกระจายของ $(2s-t)^{12}$

การทำโจทย์ในข้อข้างบนนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องอเนกนามมาช่วยแก้ปัญหาครับซึ่งสามารถศึกษาได้ในวิชาคอมบินาทอริกทั่วไป
ข้อ 1, 2 และ 4 ใช้สูตรก็ออกเลยครับ
ส่วนข้อ 3 ให้ x,y,z มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นคำตอบคือ

solution

$3^8$