ข้อสอบคัดเลือกตัวแทนศูนย์ มอ.

[Euler-Fermat]

พอดีเพิ่งว่าง จากการสอบเตรียมเลยไม่มีเวลามาโพส

Inequality

1. จงพิสูจน์ $1!2!3!...n! \leqslant (1+2+3+...+n)!$
สำหรับทกจำนวนเต็มบวก $n$

2. จงพิสูจน์ว่า $\sum_{k = 1}^{2n}x^k = x^{2n}+x^{2n-1}+...+x+1 > 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

3. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-a^3}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-b^3}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{1-c^3}} \geqslant \dfrac{3}{\sqrt[3]{1-abc}}$ สำหรับทุก $0 < a,b,c < 1$

4. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบและศูนย์ $ab+bc+ca = 3$
$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}}{a+b+c} \leqslant \dfrac{abc}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{3}}{abc}$

FE

1. $f:\mathbb{R} -\left\{\ 0,-1,1\right\} \rightarrow \mathbb{R}$
$f(x)+f\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right) = -x+-2(\dfrac{x-1}{x+1})+\dfrac{x+1}{x-1}$
$f(x)+f\left(-\dfrac{1}{x}\right) = -x+\dfrac{1}{x}$
จงหาฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้อง

2.$P(x^2)+2013P(x)P(x+1) = 0$
จงหาฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดที่สอดคล้องที่ไม่ใช่พหนามคงตัว

3. $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$
$f(x+f(y+1)) = y+f(x+1)$
จงหาฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้อง

Trigon

1. จงหาจำนวนคำตอบ $\sqrt{5sin^2x+6sin2x+4} = x^2$

2. จำไม่ได้ ครับ ไม่แน่ใจ มันเป็นพิสูจน์เอกลักษณ์พีชคณิตก้อนยาว แต่ให้ใช้ตรีโกณพิสูจน์

Combi

1. การแข่งขันคณิตศาสตร์ของนักเรียนครั้งหนึ่งมีผู้เข้าแข่งขันเป็นนักเรียน จาก 4 โรงเรียนรวมกันทั้งหมด 65 คน พอจบการแข่งขันก็จะมีลำดับตั้งแต่ 1-65 โดยไม่มีใครได้ลำดับซ้ำกัน จงพิสูจน์ว่าจะมีนักเรียนที่ได้ลำดับเท่ากับ 2 เท่าของลำดับนักเรียนที่มาจากโรงเรียนเดียวกัน หรือ ได้ลำดับเท่ากับผลรวมลำดับของนักเรียนบางคน 2 คนที่มาจากโรงเรียนเดียวกัน

PG

1. สามเหลี่ยม $ABC$ มีเส้นแบ่งครึ่งมุม $A$ คือ $L_A$

1.1 จงหา $L^2_A$ ในรูป $a,b,c$ เมื่อ $a,b,c$ คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ตามลำดับ

1.2 ถ้าสามเหลี่ยม มีความยาวเส้นแบ่งครึ่งมุมเท่ากันสองเส้นแล้ว จงพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมรูปนั้นเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

2. สี่เหลี่ยมใดๆ $ABCD$ มีเส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ตัดกันที่จุด $M$ และ $AM=MD$ และ $BM = 2MD$ และ $\dfrac{AC}{MX} = \dfrac{BY}{YC} = \dfrac{3}{1}$ โดย $x,y$ เป็นจุดบน $MD$ และ $BC$ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า $D,X,Y$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

NT

1. $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ $n = p_1p_2$ โดย $p_1,p_2$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน $\sigma(n) = 2n$ และ $(n,q) = 1$ โดย $q$ เป็นจำนวนเฉพาะใดๆ จงพิสูจน์ว่าจะมี $s,t$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $(s,t) = 1$ สำหรับทุก $q$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข $p^s_1+p^t_1p^s_2+p^t_2 \equiv 1 (mod q)$

2.1 $\phi(n)$ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่ ทุกจำนวนนับ $n > 2$

2.2 $(n,k) = 1$ ก็ต่อเมื่อ $(n-k,n) = 1$

2.3 $\sum_{k = 1}^{9} (-1)^k\dfrac{1}{k^2} = \dfrac{a}{b}$ สำหรับทุก $(k,9) = 1$ จงพิสูจน์
ว่า $9 \mid a$

2.4 $\sum_{k = 1}^{n} (-1)^k\dfrac{1}{k^2} = \dfrac{a}{b}$ สำหรับทุก $(k,n) = 1$ จงพิสูจน์ว่า $n \mid a$

[Beatmania]

คุณแบงค์ผู้น่าสงสาร ปีนี้เงียบเหงาจริงๆเลยครับ...

Ine

1.จำนวนวิธีการหยิบของ $\frac{n(n+1)}{2} $ อย่างทีละ $n$ , $n-1$ , ... , $1$ อย่าง

2.ถ้า $x=1$ ชัดเจนว่าจริง ถ้าไม่เท่ากับ $1$ ให้ดูอสมการ $\frac{x^{2k+1}-1}{x-1} >0$

3.อสมการไม่ Hold ป่ะครับ

4. $pqr$ Method

NT

1.พิสูจน์ว่า $n=6$ และ $s=q-2,t=2q-3$

2.1 ชัดเจน

2.2 ชัดเจน

2.3 2.4 เดี๋ยวมาตอบครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อ 2 เรขา โจทย์ผิดหรือเปล่าครับ??