(แสกนดิบๆ) ข้อสอบ สอวน. ปี 2553 (สวนกุหลาบ)

[กิตติ]

ข้อ18. ถ้าจัดรูแปบบอีกหน่อยจะง่ายขึ้น เราได้ว่า
$a_n.a_{n+1}=a_n-a_{n+1}$
โจทย์ให้หา$a_1a_2+a_2a_3+...+a_{2009}a_{2010}$
$=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_{2009}-a_{2010})$
$=a_1-a_{2010}$

[PP_nine]

ก็ให้ 11-x เป็น a และก็ 13-x เป็น b สิครับ
จะได้ $a^3+b^3=(a+b)^3$
จัดรูปธรรมดาได้ $3ab(a+b)=0$
$\therefore x=11,12,13$ ครับ

[กิตติ]

ข้อ9....เขียนสมการแต่ละแนวออกมาแล้วแก้สมการ ได้คำตอบว่า$a+b+c+d+e+f=12$
ข้อ10....จัดรูปสมการจาก$3a^2-2a+10=(a-2)(3a+4)+18$ จะเห็นว่าพหุนามนี้จะมี$a-2$เป็นตัวประกอบเมื่อ$a-2$หาร18ลงตัว คือ$a-2$เป็นตัวประกอบของ18
จะได้ว่า$a=3,4,5,8,11,20$
ผลรวมของทุกค่าเท่ากับ$3+4+5+8+11+20=51$

[passer-by]

ข้อ 1 (ขอเฉลยแบบทฤษฎีจำนวนครับ)

ถ้า $ n \leq 10 $ จากการแทนค่า จะมี n = 4,10 เท่านั้น ที่เป็นจริง

ต่อไปพิจารณา กรณี $ n \geq 11$ ดึง $2^8$ ออก จะได้ $ 1+4+ 2^{n-8} = j^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม j

แต่เมื่อ take mod 8 ทำให้ซ้ายมือและขวามือ มีเศษต่างกัน ดังนั้น มีคำตอบแค่ 4,10 เท่านั้น

ข้อ 7
ให้ $ x= \frac{a}{\left| a\right|} \,\, ,y= \frac{b}{\left| b\right|} \,\, ,z= \frac{c}{\left| c\right|}$

ดังนั้น ค่าใน X จัดรูปได้เป็น $(x+1)(y+1)(z+1) -1$

เมื่อประกอบกับ $ x,y,z = \pm 1$ ก็จะหาค่ามากสุดได้ 7 และน้อยสุดได้ -1

ข้อ 8 (อาจมีวิธีดีกว่านี้ แต่ตอนนี้ยังนึกไม่ออกครับ )

$$ \frac{59}{80} = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{4}}}}} $$

$$ \frac{45}{61} = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{3}}}}} $$

แสดงว่า $ \frac{r}{s} =\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{A}{B}}}}} = \frac{14B+3A}{19B+4A}$

เมื่อ $ \frac{A}{B}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ที่ อยู่ระหว่าง $\frac{1}{4}$ และ $ \frac{1}{3}$

เนื่องจาก (14B+3A,19B+4A) = 1 และต้องการ s < 200 ดังนั้น B ไม่ควรเกิน 10

จากการแทนค่าพบว่า มี $\frac{A}{B} = \frac{2}{7}$ ที่ทำให้ s< 200 และ $ \frac{r}{s} = \frac{104}{141} $



ข้อ 16
จากการเทียบสัมประสิทธิ์พหุนาม จะได้ $ b-c = a+10$ และ $ 10a+1 = -bc$

นำ สมการแรกคูณ 10 แล้วเอาสมการที่ 2 ไปลบออก สุดท้ายจะได้ $ (10-b)(c+10) = 1 $

เนื่องจาก a,b,c เป็นจำนวนเต็ม ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ ถ้าผมทดเลขไม่ผิด ข้อนี้จะตอบ $ \{ 33,47 \}$


ข้อ 25 (Another method)

ใช้นิยามพาราโบลาให้เป็นประโยชน์ นั่นคือ ทุกจุดบนพาราโบลา อยู่ห่างจาก โฟกัส เท่ากับ ห่างจากไดเรกทริกซ์

ใช้จุดยอด V(0,0) ให้เป็นประโยชน์

ลาก F ทะลุ V ไปยังไดเรกทริกซ์ ซึ่งแน่นอนว่าตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์

หาสมการเส้นตรง FV ,ระยะจาก V ไปยังไดเรกทริกซ์และจุดตัดสมการ FV กับไดเรกทริกซ์ได้ไม่ยาก

จากนั้นใช้สูตรจุดกึ่งกลางส่วนของเส้นตรง หาพิกัดจุด F

ข้อ 29
จำได้ว่าพี่ gon เคยเฉลยโจทย์สไตล์นี้ไปแล้ว หลักการคือหมุนสามเหลี่ยม APB ไปทางขวาโดยใช้ B เป็นจุดหมุน โดยหมุนจน AB ทับ BC และสมมติให้จุด P เดิมกลายเป็น X

พิจารณา PBXC โดยลาก PX ประกอบกับใช้ปีธาโกรัสและลงมุมนิดหน่อย ก็ได้ $C\hat{X}B = A\hat{P}B=135^{\circ} $ครับ

[banker]

จากโจทย์มี ตัวเลขมาให้ 3 ตัว เข้าสมการจะได้ดังรูป



a+b+c+d+e+f = 4 +(-1) +5 + 3 + 1 + 0 = 12

[banker]

ถ้าด้านที่สั้นที่สุดของสามเหลี่ยมนี้ เป็น 11 หน่วย จะได้

$11^2 = 121 = 60 +61$

ก็จะได้อีกสองด้านเป็น $60 \ $ และ $ \ 61 \ $ หน่วย

$61^2 = 60^2 + 11^2$

เส้นรอบรูป = 11 +60 +61 = 132 หน่วย

[banker]

ข้อ 26



ตามรูป



$ 7 \beta = \alpha = 70^\circ $

$ \beta = 10^\circ \ \ \ Ans.$

[banker]

ตามรูป

OM = 25 เซนติเมตร

[Keehlzver]

มาคอนเฟิร์มครับว่าเศษเหลือตอบ 45 ครับ อีกนัยหนึ่ง $3^n\cdot 5$ ลงท้ายด้วยเลย 5 เท่านั้นครับทุกค่าของ $n$ จริงๆเเล้วผมว่าคุณกิตติลืมเอาไปคูณ $5$ ครับ เลยตอบ $9$
ท่านเซียนทั้งหลาย ช่วยวิเคราะห์หน่อยครับว่าปีนี้ทำได้สักกี่ข้อถึงจะติด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

มาคอนเฟิร์มครับว่าเศษเหลือตอบ 45 ครับ อีกนัยหนึ่ง $3^n\cdot 5$ ลงท้ายด้วยเลย 5 เท่านั้นครับทุกค่าของ $n$ จริงๆเเล้วผมว่าคุณกิตติลืมเอาไปคูณ $5$ ครับ เลยตอบ $9$
ท่านเซียนทั้งหลาย ช่วยวิเคราะห์หน่อยครับว่าปีนี้ทำได้สักกี่ข้อถึงจะติด

ข้อนั้นตอบ เศษ 45


ผมทำได้ตั้งหลายข้อ แต่ไม่ติดแน่ๆ

[กิตติ]

ข้อ 16....ขออนุญาตทำต่อของคุณpasser-byให้จบ
$ (10-b)(c+10) = 1 $
$a=b-c-10$.....เนื่องจากโจทย์กำหนดให้เซตZมีขอบเขตเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจะได้ว่า
1.$ (10-b)= 1 $ และ$ (c+10) = 1 $ กับ
2.$ (10-b)= -1 $ และ$ (c+10) = -1 $

1.ได้$a=8,b=9,c=-9$
2.ได้$a=11,b=11,c=-11$
ค่าของ$3a+2b+c = 24+18-9 =33$
ค่าของ$3a+2b+c = 33+22-11 =44$
$z=\left\{\,33,44\right\} $

[กิตติ]

ไม่รู้ว่าต้องทำกี่ข้อถึงจะติด เพราะไม่รู้ว่าใช้อิงเกณฑ์หรืออิงกลุ่ม เนื่องจากไม่ได้อยู่วงในกับเขา
เอาใจช่วยทุกคนในMCที่ไปสอบ ให้ได้คะแนนดี มีโอกาสเข้ารอบ ไปพัฒนาฝีมือ ได้ขึ้นเขาไปฝึกกับยอดฝีมือ
กับได้สัมผัสคัมภีร์ยอดยุทธ ได้ขึ้นเขากักตัวฝึกวิชาแล้วอย่าลืมมาแจมในMCต่อด้วยแล้วกัน

[Switchgear]

กระทู้นี้มีคนโพสต์เยอะมากภายในเวลาแค่ 2 วัน ผมเองเพิ่งกลับจากประชุม CIGRE ที่ฝรั่งเศส (ปารีส) เมื่อเช้านี้เอง
น่าเสียดายที่ไม่ได้ร่วมสนุกในการเฉลยตั้งแต่เมื่อวาน แต่ว่าแค่อ่านตามก็สนุกแล้ว :-)

ขออวยพรให้สมาชิก MC ทุกคนโชคดีครับ!

[banker]

ใช้ B เป็นจุดหมุน หมุนสามเหลี่ยม PBC ทวนเข็มดังรูป

จะได้ PBP' เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ซึ่ง มุม BPP' = 45 องศา

PP' = $\sqrt{8} $

สามเหลี่ยม APP' มี $3^2 - 1^ 2 = 8$

ดังนั้น สามเหลี่ยม APP' เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุม APP' เป็นมุมฉาก

มุม APB = 90 + 45 = 135 องศา

[Siren-Of-Step]

ข้อ 28 เอามาจาก แนวข้อสอบเข้า มหิดลวิทยานุสรณ์ อะป่าวครับ พอดีเจอในเล่ม gifted math