ลำดับเลขคณิต(USS Olympiasd)

[knotAmat]

ในจำนวน 121 พจน์แรกของลำดับเลขคณิต 2,7,12,... และ 2,5,8,...
จะมีพจน์ที่ซ้ำกันทั้งหมดกี่พจน์

ช้วยหน่อยครับ ขอวิธีคิดด้วยนะครับ
ขอบคุณครับ

[yellow]

ลำดับ 2

$a_n = 2 + (n-1) 3$

$a_{121} = 2 + (120) 3 = 362$

ลำดับ 1

$a_n = 2 + (n-1) 5$

จำนวนพจน์ของลำดับชุด 1 ที่มีค่าไม่เกิน 362 คือ $\frac{362 - 2}{5}+1 = 73$ พจน์


ลำดับชุด 2 ที่ n-1 หาร 5 ลงตัว มี $\frac{121 - 1}{5} = 24$ พจน์

ลำดับชุด 1 ที่ n-1 หาร 3 ลงตัว มี $\frac{73 - 1}{3} = 24$ พจน์


รวมกับพจน์แรก ทำให้ซ้ำกัน 24+1 = 25 พจน์

[Real Matrik]

พิจารณาลำดับ $2,7,12,...$
จะได้พจน์ทั่วไป $a_m = 5m-3$ ทุกๆ $m\in N$

พิจารณาลำดับ $2,5,8,...$
จะได้พจน์ทั่วไป $b_n = 3n-1$ ทุกๆ $n\in N$

ต้องการหาพจน์ที่ซ้ำกัน ซึ่งสมมูลกับการหาคำตอบของสมการ $5m-3=3n-1$
เห็นได้ชัดว่า $m$ ต้องอยู่ในรูป $3k+1$ เท่านั้น สำหรับ $k\in I-I^-$
นั่นคือ $(m,n)=(3k+1,5k+1)$

แต่ $m,n \leq 121$ ทำให้ $0\leq k \leq 24$
จะได้ว่ามี $k$ อยู่ $25$ ค่าที่สอดคล้อง

ดังนั้น ลำดับทั้งสองจะมีพจน์ซ้ำกัน $25$ พจน์

[knotAmat]

คำตอบคือ 25 ครับ
ขอบคุณมากๆครับ

ขออีก 2 ข้อครับ
1. กำหนดให้ x,y,z เป็นลำดับเลขาคณิต มีอัตราส่วนรวมเท่ากับ r และ x ไม่เท่ากับ y
ถ้า x,2y,3z เป็นลำดับเลขคณิตแล้วค่า r เท่ากับข้อใด(PAT1 กค 53)
1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2

2.ให้ an เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วมร่วมเป็นจำนีวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 1 ถ้า a6
เป็นจำนวนเต็มและ a6 + a9 = 52 แล้ว a1 มีค่าเท่ากับข้อไดต่อไปนี้ (สมาคม ปี 48)
1. 2/243 2.-2/243 3. 1/81 4.-1/81

[yellow]

ลืมพจน์แรกไปเลย

[yellow]

1. กำหนดให้ x,y,z เป็นลำดับเลขาคณิต มีอัตราส่วนรวมเท่ากับ r และ x ไม่เท่ากับ y
ถ้า x,2y,3z เป็นลำดับเลขคณิตแล้วค่า r เท่ากับข้อใด(PAT1 กค 53)
1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2

$y = xr$

$z = xr^2$

และ

$2y - x = 3z - 2y$

$2xr - x = 3xr^2 - 2xr$

โจทย์ให้ $x \not= y$ ดังนั้น x ไม่ใช่ 0 จึงนำ x หารตลอดได้

$2r - 1 = 3r^2 - 2r$

$3r^2 - 4r + 1 = 0$

$(3r - 1) (r - 1) = 0$

$r = \frac{1}{3} , 1$

โจทย์ให้ $x \not= y$ ดังนั้น r ไม่ใช่ 1

[yellow]

2.ให้ an เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วมร่วมเป็นจำนีวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 1 ถ้า a6
เป็นจำนวนเต็มและ a6 + a9 = 52 แล้ว a1 มีค่าเท่ากับข้อไดต่อไปนี้ (สมาคม ปี 48)
1. 2/243 2.-2/243 3. 1/81 4.-1/81



$a_6 + a_9 = 52$

$a_6 + a_6 r^3 = 52$

$a_6 ( 1 + r^3) = 52$

$a_6 = \frac{52}{(1+r^3)} $

โจทย์กำหนด r เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 1 และ $a_6$ เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น $(1+r^3) = \pm 1,2,4,13,26,52$

ซึ่งค่าที่สอดคล้องคือ $r = -3$

แทนค่าได้ $a_6 = -2 $

$a_1 = \frac{-2}{(-3)^5} = \frac{2}{243}$

[knotAmat]

ขอบคุณครับ คุณ Yellow

ผมสงสัยตรง #6
ทำไมเมื่อ x ไม่เท่ากับ y
แล้ว x ถึงไม่ใช่ 0 ครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ knotAmat

ขอบคุณครับ คุณ Yellow

ผมสงสัยตรง #6
ทำไมเมื่อ x ไม่เท่ากับ y
แล้ว x ถึงไม่ใช่ 0 ครับ

ถ้า x เป็น 0, y (ซึ่งเท่ากับ xr) ก็ต้องเป็น 0 ด้วย ทำให้ x = y ซึ่งผิดเงื่อนไข