การหารจำนวนเต็ม

[Di[s]-Stepz]

A = { p l p เป็นจำนวนเฉพาะบวก และ p l $(980-p)^3$ } แล้วผลบวกสมาชิกในเซต A มีค่าเท่าใด

[กิตติ]

ลองกระจาย $(980-p)^3$
$(980-p)^3=980^3-p^3-3(980)(p)(980-p)$
$=980^3-p^3+3(980)(p)(p-980)$
จะเห็นว่า $p^3,3(980)(p)(p-980)$ หารด้วย $p$ ลงตัว
ดังนั้น $(980-p)^3$ หารด้วยจำนวนเฉพาะ $p$ ลงตัวเมื่อ $980$ หารด้วยจำนวนเฉพาะ $p$ ลงตัว
$980=2^2\times 7^2\times 5$
จำนวนเฉพาะบวกคือ $2,5,7$ ดังนั้นผลบวกของจำนวนเฉพาะ $p$ คือ $14$
ไม่รู้ว่าคิดถูกไหม เดาๆคลำๆดู

[Jade1209]

ลองกระจาย $(980-p)^3$ ดู จะพบว่า $p | 980^3$
ซึ่ง $980^3 = 2^6*7^6*5^3$
ดังนั้น p ที่เป็นไปได้คือ 2,5 และ 7
ผลรวมของ p ที่เป็นไปได้คือ 14

[กิตติ]

ถ้าไม่กระจายก็ทำอีกแบบได้ว่า $(980-p)^3=p^3(\frac{980}{p}-1 )^3$
จะเห็นว่ามี $p$ เป็นตัวประกอบ ซึ่ง $(980-p)^3$ หารด้วย $p$ ลงตัวเมื่อ $\frac{980}{p}$ เป็นจำนวนเต็ม คือ $p$ เป็นตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะของ $980$ ได้คำตอบเท่ากับวิธีข้างบน

[Di[s]-Stepz]

ขอบคุณครับ กระจ่างเลย

[Euler-Fermat]

$p \mid (980-p)^3 $

$p \mid (980-p)(980-p)(980-p)$

$p \mid 980-p $

ได้ $p \mid 980$

$A = \left\{2,5,7\,\right\} $

$\therefore$ ผลบวกใน $A = 14$

[Di[s]-Stepz]

ขอบคุณครับ

[กิตติ]

จำไม่ได้ว่าจะเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการหารหรือเปล่า เคยเห็นคุณnooonuiiiบอกว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ $p$ หาร $a^3$ ลงตัวแล้ว $p$ หาร $a$ ลงตัว
เราเอาตรงนี้ไปสรุปว่า เมื่อ $p\left|\,(980-p)^3\right. $ แล้ว $p\left|\,(980-p)\right.$ ก็ทำต่อตามข้างต้น