ข้อสอบ IWYMIC 2012

[banker]

^
^
ที่พิมพ์ข้างบน กับรูปที่โจทย์ให้มา รู้สึกจะไม่เหมือนกันนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

6. Let N = $1^9 \times 2^8 \times 3^7 \times 4^6 \times 5^5 \times 6^4 \times 7^3 \times 8^2 \times 9^1 $ .
How many perfect squares divide N?
Answer:

$1^9 \times 2^8 \times 3^7 \times 4^6 \times 5^5 \times 6^4 \times 7^3 \times 8^2 \times 9^1 $

$=2^{30}\times 3^{13}\times 5^5\times 7^3$

$ = (2^{15})^2 \times 3 \cdot (3^ 6)^{2}\times 5 \cdot (5^2)^2\times 7 \cdot 7^2$

The perfect squares divide N is $ (2^{15})^2 \times (3^ 6)^{2}\times (5^2)^2\times 7^2 $

$= (2^2)^{15}\times (3^ 2)^6 \times (5^2)^2\times (7^2)^1$

จำนวน perfect squar $ = (15+1)(6+1)(2+1)(1+1) = 672 \ $ จำนวน

[math ninja]

link เฉลย
บุคคล http://www.taimc2012.org/file/Junior_Individual_Sol.pdf
ทีม http://www.taimc2012.org/file/Junior_Team_Sol.pdf

[artty60]

ดูจากโจทย์ข้อ1 sectionB แล้วไม่เข้าใจว่าที่ละไว้นั้นหมายถึงแบบไหน

เป็นอนุกรมต่อเนื่องทางด้านหน้า หรือ ทางด้านท้าย หรือว่าทั้ง2ทาง และยังไม่ค่อยเข้าใจเฉลย

$M=\sqrt{2012\times \sqrt{2013\times \sqrt{2014\times \sqrt{2015\times \sqrt{...\sqrt{(2012^2-3)\times \sqrt{(2012^2-2)\times \sqrt{(2012^2-1)\times \sqrt{2012^2} } } } } } } } }$

หรือ$M=\sqrt{2012\times \sqrt{2013\times \sqrt{2014\times \sqrt{...\sqrt{(2012^2-4)\times \sqrt{(2012^2-3)\times \sqrt{(2012^2-2)\times \sqrt{(2012^2-1)\times \sqrt{2012^2} } } } } } } } }$

หรือ$M=\sqrt{2012\times \sqrt{2013\times \sqrt{2014\times \sqrt{2015\times \sqrt{...\sqrt{(2012^2-4)\times \sqrt{(2012^2-3)\times \sqrt{(2012^2-2)\times \sqrt{(2012^2-1)\times \sqrt{2012^2} } } } } } } } } }$

ผู้รู้ช่วยอธิบายได้มั๊ยครับ งง

[Beatmania]

ข้อรากยาวๆ นั่น ผมทำได้แค่ว่า 2012<M อ่ะครับ T^T

[artty60]

เครื่องหมาย...ที่วงสีแดงหมายความว่ายังไงครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

น่าจะหมายความว่าอย่างนี้ครับ
คือ จาก2014ก็มี 2015,2016,2017,ไปเรื่อยๆจนกระทั่งตัวสุดท้ายคือ 4048144($2012^2$)
ข้อนี้ถ้าจะให้เห็นภาพอาจเริ่มจากค่าน้อยๆก่อน
เช่น$m=\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4} } } $
หรือ $m=\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{5\sqrt{6\sqrt{7\sqrt{8\sqrt{9} } } } } } } $ครับ

[geophysics]

http://www.taimc2012.org/file/Junior_Individual_Sol.pdf

เจ้าภาพเฉลยในเวปการแข่งขัน

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ใช้อสมการ
$\sqrt{n-1}\sqrt{n+1} < n$
ดังนั้น $\sqrt{(2012^2-1) \times (\sqrt{2012^2})}$ < $\sqrt{(2012^2-1) \times (\sqrt{2012^2+1})}$ < $2012^2$
ทำนองเดียวกัน
$\sqrt{(2012^2-2) \times (\sqrt{2012^2-1})\times (\sqrt{2012^2})}$ < $\sqrt{(2012^2-2) \times 2012^2}$ < $2012^2 -1$
ทำนองเดียวกัน
$\sqrt{(2012^2-3) \times (\sqrt{2012^2-2})\times (\sqrt{2012^2-1})\times(\sqrt{2012^2}) }$ < $\sqrt{(2012^2-3)\times (2012^2-1)}$ < $2012^2 -2$
ดังนั้น

M < $\sqrt{2012\times2014}$ < 2013
ในทางกลับกัน
$\sqrt{2012^2}\succeq 2012$
$\sqrt{(2012^2-1)\times\sqrt{2012^2}}$ > $\sqrt{2012\times2012}$ = $2012$
$\sqrt{(2012^2-2)\times\sqrt{2012^2-1}\times\sqrt{2012^2}}$ > $\sqrt{2012\times2012}$ = 2012
ดังนั้น

M > $\sqrt{2012\times2012}$ = 2012
ดังนั้น M = 2012

[artty60]

ขอบคุณ#22 มากครับ

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$1^9 \times 2^8 \times 3^7 \times 4^6 \times 5^5 \times 6^4 \times 7^3 \times 8^2 \times 9^1 $

$=2^{30}\times 3^{13}\times 5^5\times 7^3$

$ = (2^{15})^2 \times 3 \cdot (3^ 6)^{2}\times 5 \cdot (5^2)^2\times 7 \cdot 7^2$

The perfect squares divide N is $ (2^{15})^2 \times (3^ 6)^{2}\times (5^2)^2\times 7^2 $

$= (2^2)^{15}\times (3^ 2)^6 \times (5^2)^2\times (7^2)^1$

จำนวน perfect squar $ = (15+1)(6+1)(2+1)(1+1) = 672 \ $ จำนวน

บรรทัดสุดท้ายเป็นสูตรของมันเหรอคะ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

บรรทัดสุดท้ายต้องอาศัยความเข้าใจนิดนึงครับ
คือ ถ้าเราจะสร้างจำนวนยกกำลังสองจากเทอม $2^{30}$
มันจะมีอยู่ 16แบบคือ $2^0,2^2,2^4,2^6,...,2^{30}$
เทอม$3^{13}$ก็เช่นกันครับ
สร้างจำนวนยกกำลังสองได้ 7 แบบ $3^0,3^2,3^4,...,3^6$
เทอมที่เหลือก็ทำนองเดียวกัน
ถ้าไม่อยากแจกแจงก็ทำลัดได้ตามวิธีข้างบนครับ

[กระบี่บูรพา]

ลุงbankerครับ ช่วยอธิบายข้อ 4 บุคคล แบบ ไทยๆหน่อยครับ งงงงครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่บูรพา

ลุงbankerครับ ช่วยอธิบายข้อ 4 บุคคล แบบ ไทยๆหน่อยครับ งงงงครับ

น่าจะเป็นแบบนี้

[กระบี่บูรพา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

น่าจะเป็นแบบนี้

Attachment 9945

ประมาณว่าผมอ่านเฉลยแล้วไม่เข้าใจครับ อยากได้วิธีของลุงครับ