จุดยอดไฮเพอร์โบลา มุมฉาก

[MiNd169]

ขอวิธีพิสูจน์การหาจุดยอด จุดโฟกัส หรือหาค่า a b และ c ของไฮเพอร์โบลามุมฉากหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ

[gon]

อย่างเช่นสมการอะไรครับ ลองยกตัวอย่างหน่อย แล้วสูตรว่าอะไร

[MiNd169]

เช่น (x-5)(y+1) = 1 ละกันครับ เอาง่ายๆเลย ส่วนสูตรผมก็ยังไม่รู้อ่ะครับ เลยกะถามผ่านการพิสูจน์ไปเลย

[gon]

ความรู้ที่ต้องใช้มี 2 เรื่องคือ

1. การเลื่อนแกนทางขนาน

2. การหมุนแกน



จากรูปจุด A(x, y) เป็นจุดบนระนาบ xy ถ้าหมุนแกน xy ในทิศทวนเข็มนาฟิกาขึ้นไปเป็น มุม $\theta$ ได้แกน x'y' จะได้ว่าจุด A(x', y') (จุดเดียวกัน) เป็นจุดบนระนาบ x'y'

จะเห็นว่า (เห็นหรือเปล่าครับ )

$x = x'\cos \theta - y'\sin \theta ... (1)$
$y = x'\sin \theta + y'\cos \theta ... (2)$

แก้ระบบสมการจะได้

$x' = x\cos \theta + y\sin \theta ... (3)$
$y' = y\cos \theta - x\sin \theta ... (4)$

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการไฮเพอร์โบลามุมฉากแบบนอนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0) คือ $x^2 - y^2 = a^2$ ซึ่งถ้าหมุนในทิศทวนเข็มนาฬิกาไป $45^{\circ}$ จะได้ไฮเพอร์โบลามุมฉากในจตุภาคที่ 1 และ 3

เนื่องจากสมการบนแกน xy คือ $x^2 - y^2 = a^2$
ดังนั้นสมการบนแกน x'y' จะได้เป็น $(x')^2 - (y')^2 = a^2$

แทนค่า $x', y'$ จากสมการ (3), (4) ลงใน $(x')^2 - (y')^2 = a^2$ กระจายแล้วจัดรูปจะได้ $$(x^2-y^2)\cos 2\theta + 2xy \sin 2\theta = a^2$$
เมื่อแทนค่า $\theta = 45^{\circ}$ ก็จะได้สมการ $2xy = a^2$ เป็นสมการบนแกน xy ในจตุภาคที่ 1, 3 นั่นเอง
แต่ถ้าหมุนตามเข็ม 45 องศา ก็แทน $\theta = -45^{\circ}$ ก็จะได้สมการ $2xy = -a^2$ เป็นสมการบนแกน xy ในจตุภาคที่ 2, 4

สำหรับกรณีทั่วไปที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h, k)

เริ่มต้นพิจารณาสมการ HP มุมฉากคือ $x^2 - y^2 = a^2$ จากนั้นเลื่อนแกนทางขนานไปที่จุด (h, k) ซึ่งเป็นจุดกำเนิดของแกน x'y' จะได้ว่าสมการ $(x')^2 - (y') ^2 = a^2$ เป็นสมการ HP มุมฉากบนแกน x'y'

และในตอนต้นเราทราบว่า สมการ $x^2 - y^2 = a^2$ ถ้าหมุนทวนเข็ม 45 องศา จะได้สมการ $2xy = a^2$

ดังนั้นสมการ $(x')^2 - (y') ^2 = a^2$ บนแกน x'y' ถ้าหมุนทวนเข็ม 45 องศา ก็จะได้สมการ $2x'y' = a^2$ เช่นกัน

แต่เนื่องจากเราทราบว่า สมการของการเลื่อนแกนทางขนานไปที่จุด (h, k) คือ $x' = x-h, y' = y-k$

ดังนั้นจะได้สมการ $2(x - h)(y - k) = a^2$ เป็นสมการ HP มุมฉากบนแกน xy (คล้าย ๆ แบบในจตุภาคที่ 1, 3) ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h, k) นั่นเองครับ.

[MiNd169]

ขอบคุณทั้งสองคนมากๆครับ ^^

แต่ว่า ผมยังก็ไม่รู้วิธีพิสูจน์หาจุดยอดกับโฟกัสเลยครับ หรือต้องแปลงมาให้รูปในระนาบ ปกติก่อนแล้วได้คู่อันดับจึงเปลี่ยนกับไปครับ?

[gon]

การหาจุดยอดกับโฟกัส ใช้ความรู้เดียวคือการเลื่อนแกนทางขนานครับ.

เช่น สมการ $2xy = a^2$ ถ้าลากเส้นตรง $y = x$ ซึ่งเป็นสมการแกนตามขวาง

จะได้จุดตัดของเส้นตรงนี้กับ HP, $2xy = a^2$ เป็นจุดยอดนั่นเอง ซึ่งจะได้ $$(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}) , (-\frac{a}{\sqrt{2}}, -\frac{a}{\sqrt{2}})$$
ดังนั้นถ้าเป็นสมการ $2(x-h)(y-k) = a^2$ โดยการเลื่อนแกนทางขนาน ก็จะได้ว่าจุดยอดคือ $$(\frac{a}{\sqrt{2}}+h, \frac{a}{\sqrt{2}}+k) , (-\frac{a}{\sqrt{2}}+h, -\frac{a}{\sqrt{2}}+k)$$
สำหรับการหาโฟกัส เนื่องจาก $b^2 = c^2 - a^2 \Rightarrow c^2 = a^2 + a^2$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงว่าโฟกัสของ HP , $2xy = a^2$ คือจุด $$(a, a), (-a, -a)$$
ดังนั้นถ้าเป็นสมการ $2(x-h)(y-k) = a^2$ โดยการเลื่อนแกนทางขนาน ก็จะได้ว่าโฟกัสคือ $$(a+h, a+k), (-a+h, -a+k)$$
สำหรับสมการ HP อีกแบบคือ $2xy = -a^2$ ก็ทำได้คล้าย ๆ กัน

โดยการลากเส้นตรง $y = -x$ ซึ่งเป็นสมการแกนตามขวางครับ.

[MiNd169]

ขอบคุณมากครับ ผมรู้เรื่องขึ้นมากเลยครับ