โจทย์จากชาวค่าย ;)

[R-Tummykung de Lamar]

>> เรขาคณิต

1. จากรูป
1. EB ยาวเป็นครึ่งหนึ่งของ CD
2. AJ = AK = JH
3. AI = IG
4. AKI เป็นมุมในครึ่งวงกลม

[gon]

ค่ายอะำไรครับ.

[R-Tummykung de Lamar]

คำถามคือ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ILMN ครับ
โดยที่ สามเหลี่ยม ABCC ยาว 13, 14 และ 15

ค่ายคณิต มหิดลครับ

[nongtum]

ที่จริงแล้วโจทย๋ที่น้องให้มาไม่ค่อยชัดเจนเท่าไหร่ ที่จะแสดงให้ดูต่อไปนี้เป็นกรณีที่ความยาวของด้าน AB, BC, CA เป็น c,a,b ตามลำดับ และมุมของสี่เหลี่ยม LMNH กับ AFEB เป็นมุมฉาก มุมทุกมุมมีหน่วยเป็นองศา
ก่อนอื่น กำหนดให้ AI=IG=x, EB=y=0.5CD
หากข้อมูล(ที่เป็นข้อความ)ที่โจทย์ให้มาถูก จะได้ว่า H เป็นจุดเดียวกับ I (AKI เป็นสามเหลี่ยมในครึ่งวงกลม) สามเหลี่ยม AKJ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า มุม KAH=60, KHA=30 และยังจะได้อีกว่า AN=KN cot 30, NH= KN tan 30
สามเหลี่ยมมุมฉาก ACD และ CDB มีด้าน CD ร่วม ดังนั้นจะได้ว่า
\((2y)^2=b^2-x^2=a^2-(c-x)^2\) ซึ่งจะได้ \(x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\)
จาก \(\frac{LH}{AH}=\frac{CD}{AD}\) จะได้ \(LH=y({\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}}){\frac{2y}{x}}\)
ดังนั้นจะได้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยม \(ILMN=NH.LH=y^{2}(3+1){\frac{2y}{x}}={\frac{8y^3}{x}}=\frac{(b^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}{x}\) โดยที่ \(x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\).

[R-Tummykung de Lamar]

>> ทฤษฎีจำนวน
จำนวน A เป็นจำนวนที่ประกอบด้วยเลขโดด 0 จำนวน 100 ตัว เลขโดด 1 จำนวน 100 ตัวและ เลขโดด 2 จำนวน 100 ตัว
คำถาม มีกี่จำนวน A ที่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ (ถอดรากลงตัว)

ปล.โจทย์เรขาคณิตนั่น ผมรู้สึกว่าขาดอะไรซักอย่างครับ ..ก็ขอเวลาซักระยะนึงนะครับ ขอปรึกษาเพื่อนๆก่อน

[R-Tummykung de Lamar]

อีกข้อนึงนะครับ น่าสนใจดี
>>คอมบินาทอริก

ข้อย่อย 1

U = {0,1,2,...,100}
X = {x ฮ U | นำ 7 ไปหาร x³ เหลือเศษ 1}
จงหา n(X)

ข้อย่อย 2

U = {-100,...,0,1,2,...,100}
X = {x ฮ U | นำ 7 ไปหาร x³ เหลือเศษ 1}
จงหา n(X)

ข้อย่อย 3

U = {-10¹⁰,...,0,1,2,...,10¹⁰}
X = {x ฮ U | นำ 7 ไปหาร x³ เหลือเศษ 1}
จงหา n(X)

เบ้ ..ได้ทดสอบ การซ่อนข้อความแล้วครับ

[Alberta]

ข้อ 1 ได้ N(X)=14*3 = 42
ข้อ2 ได้ N(X)=14*3*2 = 84
ข้อ3ได้ N(X)=1428571428*2= 2857142856(เหอๆๆมากไปปล่าวเนี่ย)
รึปล่าวครับ

[nongtum]

ข้อแรกน่าจะเป็นแบบนี้มากกว่ามังครับ
จาก 0 ถึง 7 จะมีแค่ 1,2,4 เท่านั้นที่กำลังสามของมันหารด้วยเจ็ดได้เศษเป็นหนึ่ง จากหนึ่งถึงร้อยก็เลยจะได้ว่ามีเลขที่หารด้วยเจ็ดแล้วได้เศษเป็น 1,2,4 ทั้งหมด 14*3+2=44 ตัว ครับ
ในกรณีข้อสอง เราจะนิยามให้เศษเป็นบวก ก็จะได้ว่าจาก 0 ถึง -6 เพียงแค่ -3,-5,-6 เท่านั้นที่หารได้เศษเป็นบวกหนึ่ง ซึ่งจะได้ n(X)=44+42=86
ข้อสาม โดยใช้วิธีคิดแบบเดียวกับสองข้อแรก จะได้ว่า \(n(X)=\frac{10^{10}-4}{7}\cdot3\cdot2+3+1=8571428572\)

[R-Tummykung de Lamar]

ของคุณ nongtum ถูกต้องแล้วครับ

ปล. ยังเหลือ ทฤษฏีจำนวนอีกข้อนึงครับ

[Tony]

เผอิญก็เข้าค่ายมาเหมือนกัน ดูเหมือนโจทย์ทฤษฎีจำนวนจะสนุกที่สุดแล้ว

จะเอาโจทย์ที่น่าสนใจ(ที่เหลือ) มาให้ดูนะครับ
1. จงหาจำนวนของจำนวนตรรกยะ \( \frac{m}{n} \) ทั้งหมดซึ่ง
- 0<\( \frac{m}{n} \)<1
- (m,n) = 1
- mn = 25!

2. จงหาค.ร.น. ที่น้อยที่สุดของจำนวนนับ 20 จำนวน ที่ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน ซึ่งมีผลบวกเท่ากับ 801

3. จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่เล็กที่สุดซึ่งทุกๆ หลักของ 15n ประกอบด้วย 8 และ 0

4. จงหาหลักหน่วยของ \( \lceil{\frac{10^20000}{10^100+3}}\rceil \)

5. ให้ x₁, x₂, x₃, ... เป็นจำนวนซึ่งสามารถเขียนเป็นผลบวกของตัวยกกำลังของ 3 ซึ่ง x₁< x₂< x₃< ...
เช่น x₁ = 3⁰, x₂ = 3¹, x₃ = 3⁰+3¹
จงหาค่าของ x₁₀₀

6. จงหาจำนวนเต็มบวก m,n ทั้งหมดที่ทำให้ 2^m = 3ⁿ+5

7. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทำให้ n²-19n+99 เป็นกำลังสองสมบูรณ์

8. มีคู่อันดับ (a,b) กี่คู๋อันดับ เมื่อ 19ฃaฃbฃ97 และ 49la²+b²

9. จงหาจำนวนเต็ม n ทั้งหมดที่ทำให้ n+1ln²+1

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 5 นั่น สุดยอดเลยล่ะครับ อย่าลืมคิดนะครับ

รู้สึกว่าข้อ 4 เลขบางส่วนหล่นไปนะครับ เดี๋ยวพิมพ์โจทย์ใหม่ให้

4.จงหาเลขโดดในหลักหน่วยของ \(\displaystyle{\bigg\lceil \frac{10^{20000}}{10^{100}+3}\bigg\rceil } \)

[nongtum]

เอาที่คิดออกตอนนี้ละกัน แล้วจะมา post เพิ่มเมื่อคิดข้ออื่นออกครับ

2. คิดได้ 42 ครับ โดยที่เลขชุดนี้คือ (3,42,...,42)

3. \(15=3\cdot5\) ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ 15n มีเลขแปดอย่างน้อยที่สุดสามตัว และมีศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว และ 15n ลงท้ายด้วยศูนย์ นั่นคือ 15n=8880 หรือ n=592

5. สังเกต'ลำดับ'ของเลขชี้กำลัง(ตามโจทย์ จากขวามาซ้าย) 0,1,10,... (เลขฐานสอง) และ
\(100=64+32+4=2^6+2^5+2^2\) เขียนเป็นเลขฐานสองได้คือ 1100100 อันหมายถึง \(x_{100}= 3^2+3^5+3^6=981\)

6. เท่าที่คิดได้มี (m,n)=(3,1),(5,3) ครับ

7. \(n^2-19n+99\) เป็นกำลังสองของจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ \(4(n^2-19n+99)=(2n-19)^2+35\) เป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม สมมติว่า \(k^2=n^2-19n+99\) เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวก ก็จะได้ว่า
\[4k^2-(2n-19)^2=35=5\cdot7=(2k+2n-19)(2k-2n+19) \]
แยกกรณีคิดได้ดังนี้
\(2k+2n-19=1,2k-2n+19=35\) จะได้ k=9, n=1
\(2k+2n-19=35,2k-2n+19=1\) จะได้ k=9, n=18
\(2k+2n-19=5,2k-2n+19=7\) จะได้ k=3, n=9
\(2k+2n-19=7,2k-2n+19=5\) จะได้ k=3, n=10
ผลบวกที่ต้องการคือ 38

note(มาแก้อีกที คงไม่ได้ขายมะพร้าวห้าวกับชาวสวนนะครับ): คำแนะนำเล็กน้อยครับ เลขชี้กำลังควรอยู่ในกรอบคำสั่งทั้งหมด เช่น a[ sup ] b+c-d [ /sup ]=a^b+c-d (เวลาพิมพ์ ไม่ต้องเว้นช่องว่างในวงเล็บคำสั่ง [])หรือถ้าพิมพ์ใน math mode ควร group เลขชี้กำลังในวงเล็บปีกกา

[R-Tummykung de Lamar]

เพื่อเติมอีกนิดนะครับ

1. จงหาจำนวนเต็ม x ,y ที่สอดคล้องกับ xy(x+y) = 2005200520052005
2.ลำดับน่ารักต่อไปนี้

10,11,12,13,14,15,16,17,20,22,24,__,100,121,10000

ในช่องว่างคืออะไรครับ

[nongtum]

คำตอบข้ออื่นๆที่คิดได้พร้อมแนวคิดคร่าวๆเป็นดังนี้ครับ

4. เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า
\[\frac{10^{20000}}{10^{100}+3}=\frac{(10^{100})^{200}-(-3)^{200}+(-3)^{200}}{10^{100}-(-3)}\]
\[(x^n-y^n)=(x-y)(x^{n-1}+...+y^{n-1})\]
\(3^{200}=9^{100}<10^{100}+3 \) และ \((-3)^{199}\equiv3(mod 10)\) เพื่อสรุปว่าหลักหน่วยที่ต้องการหา คือ 3

8. ให้ \(a=7x+r\), \(a=7y+s\) ตามเงื่อนไขโจทย์เราจะได้ว่า \(49|(7xr+7ys+r^2+s^2)\)
ให้ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง \(49k=7xr+7ys+r^2+s^2\) จะได้ว่า \(7k=xr+ys+\frac{1}{7}(r^2+s^2)\)
จากนั้น เราก็เช็คหาคู่เศษ (r,s) ที่ \(7|(r^2+s^2)\) ซึ่งมีกรณีเดียวคือ (0,0)
ดังนั้น มีจำนวนคู่อันดับที่ต้องการทั้งหมด 11+...+1=66 คู่อันดับ

9. เราสังเกตว่า \(n^2+1=(n+1)^2-2n\) และ \((n+1)|(2(n+1)-2)\) เพื่อสรุปว่า n=0,1,-2,-3

------------------------------------------------------
1. จงหาจำนวนเต็ม x ,y ที่สอดคล้องกับ xy(x+y) = 2005200520052005 =:n
---> ตัวประกอบของ n ทุกตัวเป็นเลขคี่ เพราะ n เป็นเลขคี่ ดังนั้น x+y (ซึ่งเป็นเลขคู่) จึงหาร n ไม่ลงตัว ทำให้ไม่มี (x,y) ที่ต้องการหา
(หมายเหตุ: \(n=5\cdot17\cdot73\cdot137\cdot401\cdot5882353\))

------------------------------------------------------
สำหรับข้อ 1 อีกข้อ (จงหาจำนวนของจำนวนตรรกยะ...) เท่าๆที่คิดมาได้ เป็นแบบนี้
\(25!=2^{22}\cdot3^{10}\cdot5^6\cdot7^3\cdot11^2\cdot13\cdot17\cdot19\cdot23\)
จาก (m,n)=1 จะได้ว่าแต่ละ \(p_i^{k_i}\) ,p prime ไม่เป็นตัวเศษหรือไม่ก็ตัวส่วน
ที่เหลือก็แค่จับปูใส่กระด้ง เอ๊ย ไม่ใช่ หา (m,n) ที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมดจาก 2⁹ กรณี (ข้อนี้ถ้าคิดเองคงจะต้องแจงกรณีกันตาลาย ขอยกข้อนี้ให้ผู้อื่นคิดต่อครับ)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 9 ยังไม่ถูกครับ

ส่วนข้อ 1 มาถูกทางแล้วล่ะครับ อีกนิดเดียว