ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอโทษทีนะครับ
อ่านแล้วก็ยัง งงๆ ครับ คำถามคือ
1) ตัว $w$ ที่คุณหยินหยางให้มาคือ $w=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ หรือเปล่าครับ
2) คำตอบ 3 คำตอบคือ $t=u+v\ \,uw+vw^2\ \ ,uw^2+vw$ ใช่มั้ยครับ
3) แสดงว่ามี 2 คำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน และ1 คำตอบเป็นจำนวนจริงใช่มั้ยครับ
4) ถ้าลองวาดกราฟจะได้ว่าคำตอบเป็นจำนวนจริง 3 คำตอบ ซึ่งไม่ตรงกับข้อ 3 อ่ะครับ

1. $w$ ก็คือรากที่สามของ 1 ที่ไม่ใช่ 1 งั้น ที่ถามว่าใช่หรือเปล่า ก็ใช่ครับ
2. ใช่ครับ ถ้าแปลงโจทย์ตามข้างบนแล้ว
3. คุณ nooonuii ได้อธิบายแล้ว
4. เมื่อเข้าใจข้อ 3. ก็จะเข้าใจข้อ 4
ลองอ่านในหนังสือ พีชคณิต ของ สอวน.ดูครับ

[poper]

ขอบคุณมากครับ
สงสัยจะต้องหาเวลาไปศึกษา ก่อนแล้วล่ะครับ
ถ้ามีเวลาก็จะมาเติมโจทย์ไปเรื่อยๆข้อไหนทำไม่ได้ผมก็ขอแปะไว้ก่อน
ถ้าจอมยุทธท่านใดจะร่วมเฉลยก็เชิญได้เลยนะครับ น่าจะมีข้อที่ผมทำไม่ได้อยู่เยอะเหมือนกันครับ

[poper]

แบบฝึกหัด 1.4
1) จงแยกตัวประกอบต่อไปนี้
1.1 $\ \ \ x^3-7x+6$
1.2 $\ \ \ 3x^3-7x^2+4$
1.3 $\ \ \ x^4-3x^3+6x-4$
1.4 $\ \ \ 4x^4+1$
1.5 $\ \ \ x^4-20x^2+4$
1.6 $\ \ \ x^4-ax^3+(b-1)x+ax-b$
1.7 $\ \ \ x^4-bx^3+(a-1)x+bx-a$
1.8 $\ \ \ x^3+y^3+z^3-3xyz$
1.9 $\ \ \ x^{10}+x^5+1$
1.10 $\ \ a^2bc+b^2ca+c^2ab$
1.11 $\ \ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$
2) จงหาค่า $A$ และ $B$ ที่ทำให้ $9x^4-12x^3y+Ax^2y^2+Bxy^3+y^4$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
3) กำหนดให้ $x^4+16x^3+mx^2+nx+25$ เท่ากับกำลังสองของ $x^2+px+q$ จงหาค่าที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของ $m,n,p$ และ $q$
4) จงหาค่าของนิพจน์ในข้อต่อไปนี้
4.1 $$\frac{1}{a(a-b)(c-a)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}$$
4.2 $$\frac{a^2-b^2-c^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2-c^2-a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{c^2-a^2-b^2}{(a-b)(a-c)}$$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

1. $w$ ก็คือรากที่สามของ 1 ที่ไม่ใช่ 1 งั้น ที่ถามว่าใช่หรือเปล่า ก็ใช่ครับ
2. ใช่ครับ ถ้าแปลงโจทย์ตามข้างบนแล้ว
3. คุณ nooonuii ได้อธิบายแล้ว
4. เมื่อเข้าใจข้อ 3. ก็จะเข้าใจข้อ 4
ลองอ่านในหนังสือ พีชคณิต ของ สอวน.ดูครับ

ขอบคุณครับ
แบบนี้ผมอาจจะตอบโดยไม่ต้องไปคำนวณหาค่าได้มั้ยครับ คือตอบว่า
$x=u+v\ ,uw+vw^2\ ,uw^2+vw$ โดยที่
$u=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{-24+7i}{25}}\ \ v=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{-24-7i}{25}}$
และ $w=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

[poper]

1) จงแยกตัวประกอบต่อไปนี้
1.1 $x^3-7x+6$

ให้ $P(x)=x^3-7x+6$ จะได้ว่า $P(1)=0$ ดังนั้น $P(x)$ มีตัวประกอบตัวหนึ่งคือ $(x-1)$
$\therefore x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)$

1.2 $3x^3-7x^2+4$

ใช้วิธีเดียวกันกับข้อ 1.1 จะได้
$3x^3-7x^2+4=(x-1)(3x^2-4x-4)=(x-1)(x-2)(3x+2)$

1.3 $x^4-3x^3+6x-4$

$x^4-3x^3+6x-4=(x-1)(x^3-2x^2-2x+4)$
$=(x-1)[x^2(x-2)-2(x-2)]$
$=(x-1)(x-2)(x^2-2)$

[poper]

1.4 $4x^4+1$

$4x^4+1=(4x^4+4x^2+1)-4x^2$
$=(2x+1)^2-(2x)^2$
$=(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)$

1.5 $x^4-20x^2+4$

$x^4-20x^2+4=(x^4-4x^2+4)-16x^2$
$=(x^2-2)^2-(4x)^2$
$=(x^2+4x-2)(x^2-4x-2)$

1.6 $x^4-ax^3+(b-1)x+ax-b$

$x^4-ax^3+(b-1)x+ax-b=(x-1)[x^3+(1-a)x^2+(1-a)x+b]$

1.7 $x^4-bx^3+(a-1)x+bx-a$

$x^4-bx^3+(a-1)x+bx-a=(x-1)[x^3+(1-b)x^2+(1-b)x+a]$

[poper]

1.8 $x^3+y^3+z^3-3xyz$

เนื่องจาก $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3[xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)]+6xyz$
ดังนั้น
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)^3-3[xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)]-9xyz$
$=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)$
$=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]$ ตอบแบบนี้ได้หรือยังครับ หรือทำต่อแบบนี้
$=(x+y+z)(x+y+z+\sqrt{3(xy+yz+zx)})(x+y+z-\sqrt{3(xy+yz+zx)})$

[poper]

1.9 $x^{10}+x^5+1$

ให้ $x^{5}=A$ จะได้ว่า
$A^2+A+1$ พิจารณาสมการ $A^2+A+1=0$ จะได้ว่า $A=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$
ดังนั้น $A^2+A+1=(A+\frac{1-\sqrt{3}i}{2})(A+\frac{1+\sqrt{3}i}{2})$
หรือ $\frac{1}{4}(2A+1-\sqrt{3}i)(2A+1+\sqrt{3}i)$
$=\frac{1}{4}(2x^5+1-\sqrt{3}i)(2x^5+1+\sqrt{3}i)$

[poper]

1.10 $a^2bc+b^2ca+c^2ab$

$a^2bc+b^2ca+c^2ab=abc(a+b+c)$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ให้ $x^{5}=A$ จะได้ว่า
$A^2+A+1$ พิจารณาสมการ $A^2+A+1=0$ จะได้ว่า $A=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$
ดังนั้น $A^2+A+1=(A+\frac{1-\sqrt{3}i}{2})(A+\frac{1+\sqrt{3}i}{2})$
หรือ $\frac{1}{4}(2A+1-\sqrt{3}i)(2A+1+\sqrt{3}i)$
$=\frac{1}{4}(2x^5+1-\sqrt{3}i)(2x^5+1+\sqrt{3}i)$

การแยกตัวประกอบไม่ได้หมายความว่าเท่ากับ 0 นี่ครับ
น่าจะเป็นรูปแบบนี้

ให้ $x^{5}=A$

จะได้ว่า
$A^2+A+1 = (A+1)^2-A =(A+\sqrt{A}+1)(A-\sqrt{A}+1) $

$(x^5+x^{\frac{5}{2}} +1)(x^5-x^{\frac{5}{2}} +1)$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

การแยกตัวประกอบไม่ได้หมายความว่าเท่ากับ 0 นี่ครับ
น่าจะเป็นรูปแบบนี้

ให้ $x^{5}=A$

จะได้ว่า
$A^2+A+1 = (A+1)^2-A =(A+\sqrt{A}+1)(A-\sqrt{A}+1) $

$(x^5+x^{\frac{5}{2}} +1)(x^5-x^{\frac{5}{2}} +1)$

ขอบคุณมากครับ ตอนแรกผมก็คิดแบบนี้เหมือนกัน แต่ไม่แน่ใจอ่ะครับ
แต่เคยเรียนมาบอกว่าเราสามารถแยกตัวประกอบพหุนามโดยใช้รากของสมการได้นี่ครับ
หรือว่ายังไงครับ งง

[poper]

1.11 $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

$xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz$
$(\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}+\sqrt{2xyz})(\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}-\sqrt{2xyz})$
เล่นแบบนี้เลย ไม่รู้ได้มั้ยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

[b]
1.9 $\ \ \ x^{10}+x^5+1$

ผมเข้าใจว่าต้องแยกตัวประกอบออกมาเป็นพหุนามที่มี ส.ป.ส. เป็นจำนวนจริงครับ

$x^{10}+x^5+1=\dfrac{x^{15}-1}{x^5-1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{(x^3-1)(x^{12}+x^9+x^6+x^3+1)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$

[poper]

ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ
แล้วแบบนี้ทั้งสามแบบตอบได้เหมือนกันใช่มั้ยครับ

2) จงหาค่า $A$ และ $B$ ที่ทำให้ $9x^4-12x^3y+Ax^2y^2+Bxy^3+y^4$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

สมมุติ $9x^4-12x^3y+Ax^2y^2+Bxy^3+y^4=(3x^2+pxy+y^2)^2$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9x^4+6px^3y+6x^2y^2+3pxy^3+y^4$
เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า
$p=-2\ ,A=6\ ,B=-6$

[poper]

3) กำหนดให้ $x^4+16x^3+mx^2+nx+25$ เท่ากับกำลังสองของ $x^2+px+q$ จงหาค่าที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของ $m,n,p$ และ $q$

$x^4+16x^3+mx^2+nx+25=(x^2+px+q)^2$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^4+2px^3+(p^2+2q)x^2+2pqx+q^2$
เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ว่า
$p=8$
$p^2+2q=m$---->$m=2q+64$
$2pq=n$
$q^2=25$---->$q=\pm5$
ดังนั้น $p=8\ ,q=5\ ,m=74\ ,n=80$ หรือ $p=8\ ,q=-5\ ,m=54\ ,n=-80$