quotient ring of Gaussian integers

[milch]

ไม่ได้เข้ามานานครับ รบกวนหน่อยครับ ขอบคุณครับผม

Let $0\not= z\in \mathbb{Z} [i]$. Show that $\left| \mathbb{Z} [i]/\left\langle z \right\rangle \right|=\left|z\right|^2 $.

[milch]

ตอนนี้ทำได้แค่กรณี $z=a+i$ หรือ $z=1+bi$ ครับ ช่วยหน่อยครับ

เอ หรือว่ามันไม่จริงครับ

[nooonuii]

ลองดู division algorithm ใน $\mathbb{Z}[i]$ ดูสิครับ

มันเหมือนกับการสร้าง $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ นั่นแหละครับ

แต่ residue class ใน $\mathbb{Z}[i]/(a+bi)\mathbb{Z}[i]$

จะมีทั้งหมด $|a+bi|$ classes

เพราะ division algorithm บอกว่า

ถ้า $N(x+yi)\geq N(a+bi)$ เราจะสามารถทอน $x+yi$ ลงมาได้เรื่อยๆ