Challenging Problems from a Book

[aaaa]

1. จงหาพหุนาม \( P(x) \) ทั้งหมดซึ่ง \( [P(x)]^5-x \) ถูกหารลงตัวด้วย \( (x-1)(x-2)(x-3) \)

2. จงหาจำนวนเต็ม \( a \) ทั้งหมดซึ่ง \( x^2-x+a \) หาร \( x^{13}+x+90 \) ลงตัว

3. จงหาจำนวนนับ \( n \) ทั้งหมดซึ่ง \( 4^n+n^4\) เป็นจำนวนเฉพาะ

4. จงแสดงว่าสำหรับจำนวนนับ \( n>1 \) ใดๆ สมการ
\[
1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=n^2
\]
มีคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่าระหว่าง 1 และ 2 เสมอ

5. จงหาจำนวนจริง \( p \) ทั้งหมด ซึ่งระบบสมการ \( x+y+z=2,\,xy+yz+zx=1,xyz=p \) มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

6. จงพิสูจน์ว่ารากที่เป็นจำนวนจริงบวกของสมการ \( x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)=1 \) มีค่าน้อยกว่า \( 1/n! \)

7. จงแสดงว่าสมการ \[ 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!} \] ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง

8. ให้ \( P(x) \) เป็นพหุนามสปสค่าจริง ที่มี degree เป็นเลขคู่ \( n \) และ \( P(x)\geq0 \) สำหรับทุกจำนวนจริง \( x \) จงพิสูจน์ว่า
\[
P(x)+P'(x)+\cdots+P^{(n)}(x)\geq0
\]
สำหรับทุก \( x \)

หมายเหตุ ข้อ 7 แก้ไขจากเดิมที่เป็น \( n \) ไปเป็น \( 2n \)

[nooonuii]

ข้อ 6 ถ้า \( x \geq \frac{1}{n!} \)
จะได้ว่า \( x(x+1)...(x+n) \geq \frac{1}{n!} (1+\frac{1}{n!})(2+\frac{1}{n!})...(n+\frac{1}{n!}) > 1 \)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ aaaa:
7. จงแสดงว่าสมการ \[ 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \] ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง

ไม่จริงมั้งครับ ถ้า n เป็นเลขคี่แล้ว ก็ต้องมีรากจริงอย่างน้อยรากนึง

[nooonuii]

ข้อ 3 ไม่มีคำตอบครับ
ข้อ 4 มี \( x=1+\frac{1}{n} \) เป็นคำตอบหนึ่งเสมอ

[aaaa]

ข้อ 7 ขออภัยอย่างยิ่งครับผม ลอกเพลินไปหน่อย \( n \) เป็นเลขคู่ครับ
ข้อ 3 มีคำตอบครับ อย่างน้อยก็ \( n=1 \)

[gon]

ข้อ 1. นี่มีเฉพาะ P(X) = 0 อย่างเดียวหรือเปล่าครับ.

[aaaa]

ข้อ 1 มีคำตอบอื่นครับที่ไม่ใช่ \( P(x)=0 \)

[gon]

\( อืม. รู้สึกว่าผมจะคิดลึกเกินไป ทำให้เกิดอาการมั่ว เอาเป็นแบบง่ายกว่านี้ก็แล้วกันนะครับ. สมมติให้\)
\( P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 \, แต่\, P(1) = 1, P(2) = \sqrt[5]{2}, P(3) = \sqrt[5]{3}\)
\(เมื่อแทนค่าลงไปใน \, P(x) \, จากนั้นก็แก้สมการหาค่า \, a_0, a_1, a_2 \, ก็จะได้ตามที่ต้องการ \)

[rigor]

1. จากโจทย์ \([P(x)]^5 -x\) ถูกหารลงตัวด้วย \((x-1)(x-2)(x-3)\) ซึ่งมีดีกรี 3 แสดงว่า \([P(x)]^5 -x\) มีดีกรีมากกว่าเท่ากับ 3

ผมคิดว่าน่าจะมีเงื่อนไขบางอย่างที่จำกัดได้ว่า \(P(x)\) มีดีกรีเท่าไหร่กันแน่แล้วจึงแก้สมการหาสัมประสิทธิ์ทุกตัวได้

ข้อ 1) เนื่องจากเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือ P(1) = 1, P(2) = 2^1/5และ P(3) = 3^1/5 และพหุนามดีกรีต่ำสุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ได้คือ พหุนามที่มีดีกรี 2 ก็หาพหุนามดีกรี 2 ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวออกมา สมมติว่าได้เป็น Q(x) จะเป็นคำตอบเฉพาะอันหนึ่ง

สำหรับคำตอบทั่วไปก็อยู่ในรูป Q(x)R(x) โดย R(x) คือพหุนามทั่วไปที่ไม่ใช่ศูนย์

[warut]

เอ...ผมคิดว่าโดยทั่วไปแล้ว Q(x)R(x) ไม่ใช่คำตอบของโจทย์นะครับ นอกเสียจากว่า
R(1) = R(2) = R(3) = 1 แต่นี่ก็ยังไม่ใช่คำตอบทั้งหมด ผมคิดว่าคำตอบทั้งหมดคือ
\[P(x)=Q(x)R(x)+S(x)\]
โดยที่
\[R(1)+S(1)=1\]
\[\sqrt[5]2R(2)+S(2)=\sqrt[5]2\]
\[\sqrt[5]3R(3)+S(3)=\sqrt[5]3\]
แต่เนื่องจากคำตอบของผมมันค่อนข้างจะยุ่งยาก คิดว่าถ้าไม่ผิดก็คงไม่ใช่อันที่อยู่ในใจ
ของคุณ aaaa หรอกมั้งครับ

กำลังจะมาบอกเหมือนกันว่า R(x) ไม่ใช่ค่านั้น ผมหารูปแบบของคำตอบทั่วไปได้เป็น
Q(x)[1 + (x-1)(x-2)(x-3)R(x)]
โดยที่ R(x) คือพหุนามทั่วไปที่ไม่ใช่ศูนย์
แต่ก็ไม่แน่ใจว่า ได้คำตอบครบหรือยัง เดี๋ยวลองตรวจสอบอีกที

[warut]

ใช่แล้วครับ ในกรณีที่ Q(x) หาร P(x) ได้ลงตัว P(x) ก็จะต้องอยู่ในรูป
Q(x)(1 + (x - 1)(x - 2)(x - 3)R(x)) (โดยที่ R(x) อาจเป็น zero polynomial ก็ได้)
แต่ผมคิดว่า P(x) ไม่จำเป็นต้องหารด้วย Q(x) ลงตัวก็ได้ด้วยมั้งครับ

ใช่ครับ

นอกจากนี้ คำตอบมันยังไม่ครอบคลุม สังเกตได้ง่าย เพราะรูปแบบนี้มันจะได้พหุนามดีกรี 3 แล้วก็กระโดดไปที่ 5 เลย จึงยังขาดรูปแบบของ พหุนามดีกรี 4

ผมว่ารูปแบบง่ายๆ แบบนี้ก็น่าจะครบแล้วนะครับ
Q(x) + (x-1)(x-2)(x-3)R(x)
โดยที่ R(x) เป็นพหุนามใดๆ