แบบฝึกหัด สอ ที่คิดไม่ออก ช่วยด้วยนะครับ

[ThirdkunG]

1.จงหาค่า k ที่ทำให้สมการพหุนาม $x^2 - (4k+3)x + (3k^2 + 3k +2 )= 0$ มีรากจริงทั้งสองรากและ
ผลบวกของกำลังสองของรากทั้งสองมีค่าน้อยที่สุด

2.. ให้ f(x) เป็นพหุนามกำลัง 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ $a,b,c \in I $
ถ้า f(a)=f(b) = 4และ f(c) = 7 และถ้า $\left|\,c-a\right| = 3 $แล้วจงหา $\left|\,c-b\right| $


ขอบคุณล่วงหน้านะครับ

[Mathophile]

1) สมการ $x^2+bx+c$ มีรากจริง ก็ต่อเมื่อ $b^2-4c\geq 0$ (ปกติจะเป็น $b^2-4ac$ แต่ในที่นี้ $a=1$)
และผลบวกราก $= -b$, ผลคูณราก $= c$
เช่น ถ้ารากทั้งสองคือ $m,n$ จะได้ว่า $m+n=-b,mn=c$
แต่โจทย์พูดถึง $m^2+n^2$ เราก็เปลี่ยน $m^2+n^2$ ให้อยู่ในรูป $b,c$ จะได้ว่า ...?

[คusักคณิm]

ยากจังเลยอะ

[ThirdkunG]

$ m^2 + n^2 = b^2-2c $
แล้วพอแทนด้วย $ b = 4k+3 , c=3k^2 +3k +2 $
$ จาก b^2- 4c \geq 0 $
$ b^2- 2c \geq 2c $

แบบนี้หรือป่าวครับ??



ไม่ทราบว่าคำตอบ คือ-1/2 อะป่าวอ่า

ขอบคุณมากๆนะ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ThirdkunG

$ m^2 + n^2 = b^2-2c $
แล้วพอแทนด้วย $ b = 4k+3 , c=3k^2 +3k +2 $
$ จาก b^2- 4c \geq 0 $
$ b^2- 2c \geq 2c $

แบบนี้หรือป่าวครับ??



ไม่ทราบว่าคำตอบ คือ-1/2 อะป่าวอ่า

ขอบคุณมากๆนะ

$-\frac{1}{2} $ ไม่จริงนะครับลองพิจารณาจากขอบเขตของ k ที่ทำให้สมการพหุนามมีคำตอบเป็นจำนวนจริงดู

[ThirdkunG]

จริงๆด้วย

เหอะ ขอบคุณมากครับบ


แล้วมันทำยังไงละเนี่ยๆ

[M@gpie]

ข้อ 1. ตัวเลขไม่ค่อยสวยเท่าไรนะครับ หรือผมคิดเลขผิดลองเช็คดูครับ

เงื่อนไขที่ทำให้เกิดรากจริงคือ $(4k+3)^2-4(3k^2+3k+2)\geq 0~~\Rightarrow ~~ k \in [-3/2-\sqrt{2},-3/2+\sqrt{2}]$
$r_1^2+r_2^2 = f(k) = 10k^2+18k+5$
แล้วก็หาค่าต่ำสุดภายใต้เงื่อนไขข้างบน จะได้ว่าค่าต่ำสุดเกิดที่ $k=-3/2+\sqrt{2}$

ข้อ 2. ผมว่าข้อมูลไม่ครบนะครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ข้อ 1. ตัวเลขไม่ค่อยสวยเท่าไรนะครับ หรือผมคิดเลขผิดลองเช็คดูครับ

เงื่อนไขที่ทำให้เกิดรากจริงคือ $(4k+3)^2-4(3k^2+3k+2)\geq 0~~\Rightarrow ~~ k \in [-3/2-\sqrt{2},-3/2+\sqrt{2}]$
$r_1^2+r_2^2 = f(k) = 10k^2+18k+5$
แล้วก็หาค่าต่ำสุดภายใต้เงื่อนไขข้างบน จะได้ว่าค่าต่ำสุดเกิดที่ $k=-3/2+\sqrt{2}$

ต้องมีรากจริง 2 รากหรือเปล่าคับ ทีแรกผมก็คิดได้แบบนี้แต่พอคิดว่ามีรากจริง 2 รากมันจะไม่ใช่ครับแค่เข้าใกล้

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ต้องมีรากจริง 2 รากหรือเปล่าคับ ทีแรกผมก็คิดได้แบบนี้แต่พอคิดว่ามีรากจริง 2 รากมันจะไม่ใช่ครับแค่เข้าใกล้

จริงด้วยครับ ถ้ารากจริงสองรากไม่เพียงเข้าใกล้ครับ หาค่าต่ำสุดไม่ได้เลยต่างหาก เพราะมันเป็นช่วงเปิด

[SPLASH]

น่าจะเป็น f(a)=f(b)=4

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

ข้อ 1. ตัวเลขไม่ค่อยสวยเท่าไรนะครับ หรือผมคิดเลขผิดลองเช็คดูครับ

เงื่อนไขที่ทำให้เกิดรากจริงคือ $(4k+3)^2-4(3k^2+3k+2)\geq 0~~\Rightarrow ~~ k \in [-3/2-\sqrt{2},-3/2+\sqrt{2}]$
$r_1^2+r_2^2 = f(k) = 10k^2+18k+5$
แล้วก็หาค่าต่ำสุดภายใต้เงื่อนไขข้างบน จะได้ว่าค่าต่ำสุดเกิดที่ $k=-3/2+\sqrt{2}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ต้องมีรากจริง 2 รากหรือเปล่าคับ ทีแรกผมก็คิดได้แบบนี้แต่พอคิดว่ามีรากจริง 2 รากมันจะไม่ใช่ครับแค่เข้าใกล้

ผมว่าคำตอบของคุณ M@gpie น่าจะถูกแล้วนะครับเพียงแต่ว่าขอบเขตของ $k$ น่าจะเป็น $ k \in (-\infty ,-3/2-\sqrt{2}]\cup [-3/2+\sqrt{2},\infty)$
แต่เนื่องจาก $r_1^2+r_2^2 = f(k) = 10k^2+18k+5$ , k ที่หาได้จาก f(k) ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ทำให้เกิดรากจริง
และเมื่อแทน $k=-3/2+\sqrt{2}$ ก็จะได้รากจริง 2 รากและทำให้ได้ค่าต่ำสุดตามเงื่อนไขของโจทย์

[ThirdkunG]

แก้โจทให้ใหม่แล้วครับบบ


โทษทีๆ

[Heir of Ramanujan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ThirdkunG

2. ให้ $f(x)$ เป็นพหุนามกำลัง $4$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ $a,b,c \in I$
ถ้า $f(a) = f(b) = 4$ และ $f(c) = 7$ และถ้า $\left|c-a\right| = 3$ แล้วจงหา $\left|c-b\right| $

ให้ $g(x) = f(x) - 4$
จะได้ $g(a) = f(a) - 4 = 0$ และ $g(b) = f(b) - 4 = 0$
นั่นคือ $a$ และั $b$ เป็นรากของ $g(x)$
แสดงว่า $g(x)$ สามารถเขียนได้ในรูป
$g(x) = k(x-a)(x-b)(x-d_1)(x-d_2)$ โดย $k, d_1, d_2 \in I$ และ $k \not= 0$
จะได้ $\left|g(c)\right| = \left|k\right|\left|c-a\right|\left|c-b\right|\left|c-d_1\right|\left|c-d_2\right|$
จาก $\left|c-a\right| = 3$ นั่นคือ $\left|g(c)\right| = 3\left|k\right|\left|c-b\right|\left|c-d_1\right|\left|c-d_2\right|\,..........(1)$
แต่ $g(c) = f(c) - 4$ จะได้ $\left|g(c)\right| = 3\,..........(2)$
$(1)/(2); 1 = \left|k\right|\left|c-b\right|\left|c-d_1\right|\left|c-d_2\right|$
แสดงว่า $\left|k\right|,\left|c-b\right|,\left|c-d_1\right|$ และ $\left|c-d_2\right|$ ต่างเป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของ 1 (ซึ่งคือ 1 เท่านั้น)
ดังนั้น $\left|c-b\right| = 1$

[ThirdkunG]

อ่าๆๆ ขอบคุณมากครับๆ

[The jumpers]

2.ให้$f(x) = (x - a)(x - b)(?) + 4$
เเทน$x = c$จะได้$f(c) = (c - a)(c - b)(?) + 4 = 7$
$\left|\,(c - a)(c - b)(?)\right| = \left|\,3\right|$
$\therefore \left|\,c - b\right| = 1$