อสมการที่คล้าย holder ??

[Arsene Lupin]

รบกวนช่วยพิสูจน์อสมการนี้หน่อยครับ อสมการนี้ รู้สึกว่าเหมือน holder เเต่ กลับข้างอ่ะครับ
${(x_1x_2...x_n-1)^n}\geqslant (x_1^n-1)(x_2^n-1)...(x_n^n-1)$
มีเงื่อนไข คือ n เป็นจำนวนเต็มบวก เเละ เเต่ละ x มากกว่า 1 ครับ
Original from

[nooonuii]

ลองใช้ AM-GM ดูสิครับ

[Thgx0312555]

ลองบวกหนึ่งเข้าไปในแต่ละพจน์ของโจทย์ original ดูครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Arsene Lupin

${(x_1x_2...x_n-1)^n}\geqslant (x_1^n-1)(x_2^n-1)...(x_n^n-1)$

อันนี้ก็จริงครับ ลองจัดรูปให้ได้แบบนี้

http://www.artofproblemsolving.com/F...8d308#p2325334

[Arsene Lupin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ลองใช้ AM-GM ดูสิครับ

ผม ไม่รู้จะ am-gm เเบบไหนดีอ่ะครับ เพราะพอผม am-gm เสร็จก็จะได้ก้อนเเบบที่คล้ายโฮลเดอร์อ่ะครับ

[Arsene Lupin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

อันนี้ก็จริงครับ ลองจัดรูปให้ได้แบบนี้

http://www.artofproblemsolving.com/F...8d308#p2325334

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ btilm305

Let $a_1, a_2, \cdots , a_n$ and $b_1, b_2,\cdots, b_n$ be nonnegative real numbers. Show that \[(a_1a_2 \cdots a_n)^{1/n}+ (b_1b_2 \cdots b_n)^{1/n} \le ((a_1 + b_1)(a_2 + b_2) \cdots (a_n + b_n))^{1/n}\]

มันจะใช้เชื่อมกับ อสมการ ${(x_1x_2...x_n-1)^n}\geqslant (x_1^n-1)(x_2^n-1)...(x_n^n-1)$
ยังไงอ่ะครับ เพราะฝั่งมากกว่าของอสมการผม เป็นกำลังn เเต่ฝั่งมากกว่าของaops เป็นรูทn อ่ะครับ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
คุณ thgx0312555
คือผมลอง + n ทั้งสองข้างอสมการได้ว่า เหลือต้องพิสูจน์
$\sum_{cyc}\frac{x_1^n}{x_1^n-1}\geqslant \frac{nx_1x_2...x_n}{x_1x_2...x_n-1} $ อ่ะครับ คือ ผมลอง am gm ด้านบนเเล้วไม่รู้จะทำยังไงต่ออ่ะครับ

[LightLucifer]

$a_i=(x_i)^n-1,b_i=1$

[Arsene Lupin]

อ๋อ ขอบคุณมากๆครับ คุณ lightlucifer เเละ คุณ nooonuii