[แต่งเอง] โจทย์ FE แต่งเอง

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

จงหา $f:R \rightarrow R$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$f(f(x)+yf(y)+zf(f(z)))=x+yf(y)+f(z)^2$

[จูกัดเหลียง]

เเทน $y,z=0$ ครับได้ว่า $f(f(x))=x+f(0)^2$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชั่นออนทูทำให้ที $t$ ที่ $f(t)=0$ ครับ
เเทน $y,z=t$ ได้ว่า $f(0)=0$ เเละ $f(f(x))=x$
เเทน $x,y$ ด้วย $f(x),f(y)$ ตามลำดับได้ว่า $$f(x+y^2+z^2)=f(x)+y^2+f(z)^2$$
เเทน $x,y=0$ ทำให้ $f(z)^2=f(z^2)$
เเทน $x,z=0$ ได้ $f(y)^2=f(y^2)=y^2$ ดังนั้น $f(x)=\pm x$
เเทนในโจทย์ได้ว่า $f(x)=x$ เท่านั้น หรือป่าวครับ

[kongp]

โจทย์ลักษณะนี้แพร่หลาย คงเพราะสิ่งละอันพันละน้อยในโลกคณิตศาสตร์ ถูกร้อยคล้ายพวงมาลัย เป็นเหตุผลประการณ์หนึ่ง

ผมเคยอ่านนิตยสารของสมาคมคณิตศาตร์ไทย มีเหตุผลมากพอดูแต่งเป็นร้อยกลอน ก็เป็นตัวอย่างหนึ่ง มุมมองของไทยในสายตาของชาวโลก สมควรหรือไม่สมควรนั้น
ซับซ้อนน่าดูเชียว จึงมีน้อยคนจะตอบได้ อาจารย์ที่สอนผมเชิญชวนให้ตลุยโลกวิชาการ เพราะว่าคนน้อย

ผมยึดมุมมองของท่านอาจารย์ท่านนั้นมาตลอด มีท้อบ้างบางครั้ง ตรงนี้คงเพราะตามข้อจำกัดของแต่ละคนไป ละครับ

[ACFEGIN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเทน $y,z=0$ ครับได้ว่า $f(f(x))=x+f(0)^2$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชั่นออนทูทำให้ที $t$ ที่ $f(t)=0$ ครับ
เเทน $y,z=t$ ได้ว่า $f(0)=0$ เเละ $f(f(x))=x$
เเทน $x,y$ ด้วย $f(x),f(y)$ ตามลำดับได้ว่า $$f(x+y^2+z^2)=f(x)+y^2+f(z)^2$$
เเทน $x,y=0$ ทำให้ $f(z)^2=f(z^2)$
เเทน $x,z=0$ ได้ $f(y)^2=f(y^2)=y^2$ ดังนั้น $f(x)=\pm x$
เเทนในโจทย์ได้ว่า $f(x)=x$ เท่านั้น หรือป่าวครับ

การที่ได้ว่า $f(y)^2=y^2$ ไม่สามารถสรุปได้นะครับว่า $f(x)=\pm x$
ผมขอทำต่อจากบรรทัด ที่ได้ว่า $f(f(x))=x$ นะครับ
เเทน $x,y,z$ ด้วย $0,f(y),0$ ตามลำดับได้ว่า $f(y^2)=y^2$ -----$(1)$
เเทน $x,y,z$ ด้วย $0,f(-y),0$ ตามลำดับได้ว่า $f(-y^2)=-y^2$------$(2)$
จะแสดงว่า $f(x)=x $ ทุก $x \in \mathbb{R}$ เป็นคำตอบของสมการ
กรณี $x \geq 0$ แทน $y$ ด้วย $\sqrt{x}$ ใน$(1)$ได้ว่า $f(x)=x$
กรณี $x < 0$ แทน $y$ ด้วย $\sqrt{-x}$ ใน$(2)$ได้ว่า $f(x)=x$
ดังนั้น $f(x)=x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$
ซึ่งเมื่อเช็กคำตอบแล้ว ก็สอดคล้องกับโจทย์ครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ACFEGIN

การที่ได้ว่า $f(y)^2=y^2$ ไม่สามารถสรุปได้นะครับว่า $f(x)=\pm x$
ผมขอทำต่อจากบรรทัด ที่ได้ว่า $f(f(x))=x$ นะครับ
เเทน $x,y,z$ ด้วย $0,f(y),0$ ตามลำดับได้ว่า $f(y^2)=y^2$ -----$(1)$
เเทน $x,y,z$ ด้วย $0,f(-y),0$ ตามลำดับได้ว่า $f(-y^2)=-y^2$------$(2)$
จะแสดงว่า $f(x)=x $ ทุก $x \in \mathbb{R}$ เป็นคำตอบของสมการ
กรณี $x \geq 0$ แทน $y$ ด้วย $\sqrt{x}$ ใน$(1)$ได้ว่า $f(x)=x$
กรณี $x < 0$ แทน $y$ ด้วย $\sqrt{-x}$ ใน$(2)$ได้ว่า $f(x)=x$
ดังนั้น $f(x)=x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$
ซึ่งเมื่อเช็กคำตอบแล้ว ก็สอดคล้องกับโจทย์ครับ

เพราะอะไรครับ ชี้แจงหน่อยครับ

[ACFEGIN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

เพราะอะไรครับ ชี้แจงหน่อยครับ

อย่างเช่นถ้า $f(1)=1$ และ $f(-1)=1$ (ใช้จากข้อมูลแค่ว่า $f(y)^2=y^2$)
จะเห็นว่า จะสรุปไม่ได้ว่า $f(x)=x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$ หรือ $f(x)=-x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ACFEGIN

การที่ได้ว่า $f(y)^2=y^2$ ไม่สามารถสรุปได้นะครับว่า $f(x)=\pm x$
ผมขอทำต่อจากบรรทัด ที่ได้ว่า $f(f(x))=x$ นะครับ
เเทน $x,y,z$ ด้วย $0,f(y),0$ ตามลำดับได้ว่า $f(y^2)=y^2$ -----$(1)$
เเทน $x,y,z$ ด้วย $0,f(-y),0$ ตามลำดับได้ว่า $f(-y^2)=-y^2$------$(2)$
จะแสดงว่า $f(x)=x $ ทุก $x \in \mathbb{R}$ เป็นคำตอบของสมการ
กรณี $x \geq 0$ แทน $y$ ด้วย $\sqrt{x}$ ใน$(1)$ได้ว่า $f(x)=x$
กรณี $x < 0$ แทน $y$ ด้วย $\sqrt{-x}$ ใน$(2)$ได้ว่า $f(x)=x$
ดังนั้น $f(x)=x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$
ซึ่งเมื่อเช็กคำตอบแล้ว ก็สอดคล้องกับโจทย์ครับ

ตรงนี้ไม่ได้สรุปได้เหรอครับ ว่า $f$ เป็น Bijection

[ACFEGIN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

ตรงนี้ไม่ได้สรุปได้เหรอครับ ว่า $f$ เป็น Bijection

ก็ได้ว่า bijection ครับ
แต่ว่า ถ้า $f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=-2,f(-2)=2$ ก็สรุปไม่ได้เช่นเดิมครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ACFEGIN

ก็ได้ว่า bijection ครับ
แต่ว่า ถ้า $f(1)=1,f(-1)=-1,f(2)=-2,f(-2)=2$ ก็สรุปไม่ได้เช่นเดิมครับ

มันจะเกิดแบบนี้ได้ยังไงครับ ก็ในเมื่อ $f(x)=-x$ เอาไปแทนแล้วไม่ใช่คำตอบ

หรือผมพลาดอะไรไป

[ACFEGIN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

มันจะเกิดแบบนี้ได้ยังไงครับ ก็ในเมื่อ $f(x)=-x$ เอาไปแทนแล้วไม่ใช่คำตอบ

หรือผมพลาดอะไรไป

ก็อย่างที่บอกครับ $f(x)^2=x^2$ ไม่สามารถสรุปได้ว่า
$f(x)=x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$ หรือ $f(x)=-x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$
ตัวอย่างก็คือ ถ้า $f(1)=1, f(-1)=-1, f(2)=-2, f(-2)=2 $ นั้นแหละครับ
ซึ่งจะเห็นว่าสอดคล้องกับ $f(x)^2=x^2$ (และ $f(f(x))=x$ด้วย)
แต่จะไม่ได้ว่า $f(x)=x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$ หรือ $f(x)=-x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$
ก็เลยไม่สามารถเอา $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ ไปแทนเช็กคำตอบในโจทย์ได้ครับ

[Aquila]

เข้าใจแล้วครับ เป็นเรื่อง Logic นี่เอง ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

$\forall x [P(x)\vee Q(x)]$ ไม่สมมูลกับ $[\forall x P(x)]\vee[\forall x Q(x)]$ ครับ

TMO ปีที่แล้วผมออกข้อสอบ FE โดยเน้นวัดจุดนี้เป็นหลักปรากฎว่ามีคนทำได้เต็มแค่คนเดียว

ปีนี้ไม่ได้ออกแนวเดิมแต่ก็มีหลายคนทำมาทางนี้ ผลคือมีคนเดียวที่ทำแบบนี้แล้วได้เต็มเหมือนเดิม