ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมปลาย 2552

[TisSue]

ขอบคุณสำหรับข้อสอบมากๆเลยครับผม
ช่วยอธิบายข้อ 37 กับ 29 ทีครับ ไม่ค่อยเข้าใจที่มาที่ไป -*-

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณpasser-byที่ชี้ทางวิธีแก้โจทย์สวยๆให้ครับ

[tetris]

ถามข้อ11หน่อยครับ ม่เข้าใจจริงๆ ผมได้เเค่ว่า a=9/4 เเล้ว-5000มันมาจากไหนอะครับ

ขอบคุณล่วงหน้า

[tongkub]

รบกวนขอแนวคิดข้อ 31 ด้วยครับ ไปไม่ถูกจริงๆ

[Amankris]

$31).$
$0\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}$
$x+sin$ $y=2009---*$
$x+2009cos$ $y=2008---**$

Outline

$0\leqslant sin$ $y\leqslant 1$
$(*)$ $;$ $x\geqslant 2008$

$0\leqslant cos$ $y\leqslant 1$
$(**)$ $;$ $x\leqslant 2008$

$2008\leqslant x\leqslant 2008$
$x=2008,y=\frac{\pi}{2}$

$x+8cos$ $2y=2000$

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

15. คงต้องใช้วิธีแยกตัวประกอบตรงๆแหละครับ ซึ่งก็ไม่ยาก มีจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบได้ไม่เกิน $29$

$30!=2^{26}\cdot 3^{14}\cdot 5^{7}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29$

$~~~~=10^7(2^{19}\cdot 3^{14}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29)$

จึงได้ $k=7$ และ $a_k=8$

$a_k$ หามาจากเลขหลักหน่วยของก้อนหลัง

ตอนหา $a_k$ ให้ลองสังเกตรูปแบบของเลขหลักสุดท้ายของแต่ละกำลังของจำนวนเฉพาะเช่น $2^{19}$

จะมีรูปแบบของเลขท้ายเป็น $2,4,8,6,2,4,8,6,...$ ซึ่งวนซ้ำทีละสี่

จึงได้ $2^{19}$ ลงท้ายด้วย $8$

ไม่เข้าใจตรง $a_k$ ครับ รบกวนอธิบายหน่อยครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ถ้าโจทย์ตามนี้ไม่มีการแก้ไขโจทย์ ค่าของ n ที่เป็นไปได้มี 2 กรณีคือ $n =5*11^3$ หรือ $n =5^3*11$ แต่ไม่ว่าจะป็นกรณีไหนก็ไม่มีคำตอบในตัวเลือกครับ ไม่แน่ใจว่าข้อนี้หรือเปล่าที่ทำให้ปีที่แล้วได้สูงสุดแค่ 39 (ถ้าจำไม่ผิด)

ถึงว่า . ได้เท่านี้แหละครับ

เปลี่ยน $55n^3 = 11 * 5 *n^3 $ จำนวนตัวประกอบเท่ากับ 55 = 11*5

แสดงว่า n จะต้องมี 11 และ 5 เป็นตัวประกอบอยู่ (เพราะว่าถ้าไม่มีจะได้จำนวนตัวประกอบเป็น (2)(2)(3a+1) ซึ่งมันเป็นจำนวนคู่ )

ไปต่อก็ได้ตามซือแป๋ ครับ

[nooonuii]

#51

$30!=10^7(2^{19}\cdot 3^{14}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29)$

$2^{19}$ ลงท้ายด้วย $8$
$3^{14}$ ลงท้ายด้วย $9$
$7^4$ ลงท้ายด้วย $1$
$11^2$ ลงท้ายด้วย $1$
$13^2$ ลงท้ายด้วย $9$
$17\cdot 23$ ลงท้ายด้วย $1$
$19\cdot 29$ ลงท้ายด้วย $1$

$2^{19}\cdot 3^{14}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29$ ลงท้ายด้วย $8$

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$A$ คือเซตของจำนวนจริง $a$ ซึ่งทำให้สมการ $a\cdot 3^{x}+3^{-x}=3$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว

จะได้ $A=\{\frac{9}{4}\}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มาช่วยเสริมครับ มี-5000 อีกตัวด้วยครับ และอาจมีตัวอื่นอีกมากมาย เช่น -4000 เป็นต้น

ตรงนี้ไม่เข้าใจครับทำอย่างไรครับ ?

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

#51

$30!=10^7(2^{19}\cdot 3^{14}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29)$

$2^{19}$ ลงท้ายด้วย $8$
$3^{14}$ ลงท้ายด้วย $9$
$7^4$ ลงท้ายด้วย $1$
$11^2$ ลงท้ายด้วย $1$
$13^2$ ลงท้ายด้วย $9$
$17\cdot 23$ ลงท้ายด้วย $1$
$19\cdot 29$ ลงท้ายด้วย $1$

$2^{19}\cdot 3^{14}\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29$ ลงท้ายด้วย $8$

เข้าใจแล้วครับ ผมนึกว่าต้องหาแค่ $2^{19}$ ก็จะรู้เลย สรุปคือต้องหาทุกตัวสิ่นะครับ

ขอบคุณครับ พอดีช่วงนี้ใกล้สอบแล้วติดขัดอะไรก็จะรบกวนเหมือนเคยนะครับพี่ nooonuii

แล้วก็ชาว MCT นะค้าบบ

[Real Matrik]

hint for another solution

สังเกตว่า $1\times2\times3\times4$ , $6\times7\times8\times9$ , $11\times12\times13\times14$ ,$...$
มีหลักหน่วยเหมือนกันหมด คือ $4$ จะได้ว่า

My solution

$$30!=[(10k_1+4)(10k_2+4)...(10k_5+4)][26\times27\times28\times29][5\times10\times15\times20\times25\times30]$$
$$=[10k_6+4][26\times27\times28\times29][5\times10\times15\times20\times25\times30]$$
$$=[10k_6+4][26\times27\times28\times29][5^7\cdot2^4(3^2)]$$
$$=5^7\cdot2^7[10k_6+4][13\times27\times7\times29][3^2]$$
$$=10^7[10k_6+4][10k_7+3][3^2]$$
$$=10^7[10k_8+8]$$

นั่นคือ $a_k=8,k=7$
ดังนั้น $k+a_k=15$

ปล. คิดถึงโจทย์ข้อนี้มากมาย

[aiampond]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ข้อ 10 ใช้ เลอจองค์ ไล่ดูเลยครับ โดย n ต้องมี 0 อย่างน้อย 2009 ตัว

ข้อ 34 ใช้สูตรจะได้ $S_\infty = \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2} } = 2$

มันน่าจะเปนแบบนี้รึป่าว
$f(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ....... + \frac{1}{2009}$
$f(2) = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ....... + \frac{1}{2009^2}$
$f(3) = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + ....... + \frac{1}{2009^3}$
$.$
$.$
$.$
$f(k) = \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \frac{1}{4^k} + ....... + \frac{1}{2009^k}$

$\therefore \sum_{k=1}^\infty f(k) = \frac{\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2} } +\frac{\frac{1}{3} }{1-\frac{1}{3} } +\frac{\frac{1}{4} }{1-\frac{1}{4} } +.......+\frac{\frac{1}{2009} }{1-\frac{1}{2009} }$
$\therefore \sum_{k = 2}^\infty f(k) = \sum_{k = 1}^\infty -f(1) $
จะได้ $1-\frac{1}{2009}=\frac{2008}{2009} $
ผิดพลาดประการใดก้ขออภัยด้วยนะคับ^^

[aiampond]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ข้อ 33 $f(x)=1+x+x^2+...+x^{100}$ จงหาค่าของ $f''(1)-f'(1)+f(1)$
จากโจทย์จะได้ว่า $f(1)=\sum_{n = 1}^{100}1$
และ $f'(x)=1+2x+3x^2+...+100x^{99}=\sum_{n = 1}^{100}nx^{n-1}$ นั่นคือ $f'(1)=\sum_{n = 1}^{100}n$ และจะได้ว่า
$f''(x)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)x^n$ นั่นคือ $f''(1)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)$
ดังนั้นค่าของ
$$f''(1)-f'(1)+f(1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)-\sum_{n = 1}^{100}n+\sum_{n = 1}^{100}1=\dfrac{99(100)(199)}{6}+\dfrac{99(100)}{2}-\dfrac{100(101)}{2}+100=328350$$

ผิดตรงนี้คับ$ f(1)=1+\underbrace{1+1+1+1+.....+1}_{100 ตัว} $
$\therefore f(1)=101$
จะได้คำตอบเป็น 328351 ตอบข้อที่ 1

[-[B]a$ic'z~*]

$$30!=10^7(2^{19}\cdot 3^14\cdot 7^4\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29) $$

บรรทัดนี้ทำยังไงหรอครับ อธิบายที

[Amankris]

#58
แยกตัวประกอบครับ

[Metamorphosis]

ช่วยบอกหน่อยครับ ว่า 11 ใช้ 9/4 อย่างเดีัยวไม่ได้ครับ