โจทย์หัดเเต่งเองครับ

[AnDroMeDa]

ตั้งโจทย์มั่งครับ(เอาด้วยคน)
1.ให้$x,y,z>0$และ$x+y+z=3$จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{x} +\sqrt{y}+ \sqrt{z}\geqslant xy+yz+xz $$
2. ให้$x,y,z>0$จงพิสูจน์ว่า$$4(x+y+z)^3\geqslant 27(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)$$
3. ให้$a,b,c>0$จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geqslant \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c} $$
4. ให้$x,y,z>0$จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}\frac{x}{y+z}\leqslant \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{2(xy+yz+xz)} $$
5. ให้$a,b,c>0$จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}(\frac{a}{a+b})^3\geqslant \frac{3}{8} $$
6. ให้$a,b,c>0$,$n\in \mathbb{N}$และ$n\not= 1$ จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}(\frac{a}{a+b})^n\geqslant \frac{3}{2^n} $$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

4. ให้$x,y,z>0$จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}\frac{x}{y+z}\leqslant \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{2(xy+yz+xz)} $$

ไม่ได้เเต่งเองใช่ไหมครับ
WLOG $x\ge y\ge z$ $\rightarrow x(y+z)\ge y(z+x)\ge z(x+y)$ and $\frac{x}{y+z}\ge \frac{y}{z+x}\ge \frac{z}{x+y}$
by Cheby's $$\sum_{cyc} \frac{x}{y+z}x(y+z)\ge \frac{1}{3}(\sum_{cyc} \frac{x}{y+z})(2(xy+yz+zx))$$

[AnDroMeDa]

ไม่ได้แต่งเองแต่เห็นว่าสวยดีเลยเอามาให้ทำครับ(ยกเว้นข้อสุดท้ายนะ)

[จูกัดเหลียง]

6. ให้$a,b,c>0$และ$n\in \mathbb{N} $จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}(\frac{a}{a+b})^n\geqslant \frac{3}{2^n} $$ (ข้อสุดท้ายไม่รู้ว่าจริงรึป่าวนะครับแต่ทำไปทำมามันออกช่วยเช็คให้ด้วยครับ)

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

ตั้งโจทย์มั่งครับ(เอาด้วยคน)
1.ให้$x,y,z>0$และ$x+y+z=3$จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{x} +\sqrt{y}+ \sqrt{z}\geqslant xy+yz+xz $$

จาก $x+y+z=3$ จะได้ $2(xy+yz+zx)=9-x^2-y^2-z^2$

นั่นแปลว่าเราต้องพิสูจน์ว่า

$$x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z} \ge 9$$

แต่จาก AM.-GM.

$$x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x} \ge 3x$$

$$\therefore x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z} \ge 3(x+y+z) =9$$

[BLACK-Dragon]

รู้สึกข้อ 5 จะสมมูลกับอสมการนี้

$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{a}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

$$(9(x+y+z)+9)(3(xy+yz+zx)+3)\leq(9(x+y+z)+9)((x+y+z)^2+3)=(x+y+z+3)^2+8(x+y+z)^3$$

เท่ากันเหรอครับ (ผมทำคล้ายๆเเบบนี้เเลหะเเต่มันไม่ได้เท่ากัน) = ="

ปล. #51 $\sum_{cyc} \frac{a}{a+b}\le \frac{3}{2}$ ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

6. ให้$a,b,c>0$และ$n\in \mathbb{N} $จงพิสูจน์ว่า$$\sum_{cyc}(\frac{a}{a+b})^n\geqslant \frac{3}{2^n} $$ (ข้อสุดท้ายไม่รู้ว่าจริงรึป่าวนะครับแต่ทำไปทำมามันออกช่วยเช็คให้ด้วยครับ)

จริงเฉพาะ $n\geq 2$ ครับ

ถ้า $n=1$ ตัวอย่างค้านคือ $a=0.01,b=0.1,c=1$

และอสมการนี้

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\leq\dfrac{3}{2}$

ก็ไม่จริงด้วยครับ

สำหรับวิธีพิสูจน์กรณีทั่วไปใช้ power mean จะทำให้อสมการลดรูปลงมาแค่พิสูจน์ว่า

$\left(\dfrac{a}{a+b}\right)^2+\left(\dfrac{b}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{c}{c+a}\right)^2\geq\dfrac{3}{4}$

ซึ่งพิสูจน์โดยใช้เฉลยของข้อ $5$ ครับ

(เฉลยข้อ 5 หาได้จากหลายแหล่งเพราะเป็นโจทย์ VMO)

[AnDroMeDa]

ขอบคุณ#53มากๆครับ

[จูกัดเหลียง]

ไม่รู้ได้ป่าวนะครับ ช่วยหน่อย
$$\sum_{cyc} \frac{a^3+b^3}{(a+b)^3}\ge \frac{3}{4}\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{3ab(a+b)}{(a+b)^3}\le \frac{9}{4}$$
ให้ $ k$แทนจำนวนจริงที่มากที่สุดที่
$$\sum_{cyc} (\frac{a}{a+b})^3\ge k$$ แต่ $$ \sum_{cyc} \frac{a^3+b^3}{(a+b)^3}\ge 2\sum_{cyc} (\frac{a}{a+b})^3\ge 2k$$
$\therefore k=\frac{3}{8}$

[PP_nine]

มาต่อโจทย์ให้ฮะ ช่วงนี้อยู่บ้านน่าเบื่อ

7. $a,b,c>0$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+2bc} \le 1$$
8. $a,b,c>0$ สำหรับจำนวนจริง $n>2$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+nbc} \le \frac{3}{1+n}$$
9. $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=1$ พิสูจน์ $$\frac{(1+x)^3}{1+y^3}+\frac{(1+y)^3}{1+z^3}+\frac{(1+z)^3}{1+x^3} \ge \frac{240}{49}+\frac{288}{49} (xy+yz+zx)$$
10. $a,b,c>0$ และ $\sqrt{7}abc=ab+bc+ca$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{1}{9+a^2+b^2} \le \frac{7}{27}$$
11. จำนวนนับ $n,m$ ซึ่ง $n>m$ และจำนวนจริงบวก $a,b,c$ โดยที่ $a^n+b^n+c^n \ge a^m+b^m+c^m$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^n+b^n+c^m}{a^m+b^m+c^n}} \ge 3$$
12. $a_1,a_2,...,a_n>0$ (โดยที่ $n \ge 2$) สอดคล้องอสมการ $$\left(\, \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left(\, \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left(\, \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i^3} \right) \le \left(\, n+\frac{36}{7} \right) ^3$$ พิสูจน์ $$\max \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} \le 7 \min \left\{\, a_1,a_2,...,a_n \right\} $$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

มาต่อโจทย์ให้ฮะ ช่วงนี้อยู่บ้านน่าเบื่อ


8. $a,b,c>0$ สำหรับจำนวนจริง $n>2$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+nbc} \le \frac{3}{1+n}$$

$$\sum_{cyc} \frac{bc}{a^2+nbc} \le \frac{3}{1+n}$$
$$\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+nbc}\ge \frac{3}{n(n+1)}$$
by Cauchy $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a^2+nbc}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca)}\ge \frac{3}{n(n+1)}$$

ปล.$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\le \frac{3}{2}\leftrightarrow \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\le 0$$ ซึ่งจริงโดย Rearangerment ไม่ใช่เหรอครับ หรือผมผิดตรงไหน

[LightLucifer]

#57 ผมว่าบรรทัดที่ 2 มันยังไงๆอยู่นะครับ
ข้อของผมบ้าง วันนี้กลับมาลุยอสมการสักวัน ^^

ให้ $x,y,z>0$ ซึ่ง $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=3$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{5x^3+x}+\frac{1}{5y^3+y}+\frac{1}{5z^3+z} \ge \frac{1}{2}$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

10. $a,b,c>0$ และ $\sqrt{7}abc=ab+bc+ca$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{1}{9+a^2+b^2} \le \frac{7}{27}$$

พี่ Light ช่วยเช็คหน่อยครับใน #55
จาก $ab+bc+ca=\sqrt{7}abc$ $\therefore abc\ge \frac{27}{7\sqrt{7}}$
$$\sum_{cyc} \frac{1}{9+a^2+b^2} \le \frac{7}{27}\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+9}\ge \frac{2}{3}$$
By Cauchy $$\sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+9}\ge \frac{2(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+27}$$
It's Remain to prove that $$3(a^2+b^2+c^2)\ge 2(a^2+b^2+c^2)+27\leftrightarrow a^2+b^2+c^2+6(ab+bc+ca)\ge 27$$
ซึ่งจริงจาก $ abc\ge \frac{27}{7\sqrt{7}}$

[LightLucifer]

#55
ผมว่าไม่น่าได้นะครับ