โจทย์เชิงซ้อนจากPSU 58

[กิตติ]

พอดีเห็นโจทย์มาจากเพจคณิตศาสตร์ม.ปลาย ไม่แน่ใจว่าจะทำถูกไหม เลยเอามาลงให้ยอดฝีมือในMCช่วยดู ช่วยแนะนำทางสว่างด้วยครับ

9.ให้ $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ $\left|\,z_1+z_2\right| =1$ และ $\left|\,z^2_1+z^2_2\right| =1$
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\left|\,z^3_1+z^3_2\right|$
ขอแก้โจทย์เป็น $\left|\,z^2_1+z^2_2\right| =19$
10.ให้ $z=\cos \frac{2\pi}{727} +i \sin \frac{2\pi}{727}$ และส่วนจินตภาพของ $\prod_{k = 8}^{13}\left(\,1+z^{3^{k-1}}+z^{2.3^{k-1}}\right) $ เท่ากับ $\sin \theta$
สำหรับจำนวนจริง $\theta \in \left[\,-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] $ บางค่า จงหาค่าของ $\theta$

[FranceZii Siriseth]

10.$$ \prod_{k=8}^{13} \frac{z^{3^{k}}-1}{z^{3^{k-1}}-1}$$
$$=\frac{z^{3^{13}}-1}{z^{3^{7}}-1}$$
$$=\frac{cis(\frac{2×3^{13}×\pi}{727})-1}{cis(\frac{2×3^7×\pi}{727})-1}$$
เพราะว่า
$3^{6}\equiv 2mod(727)$

1.$2×3×3^6 \equiv 12 mod(727)$ ตัวส่วน
2.$3^{12}×3×2\equiv 24 mod(727)$ ตัวเศษ

$$=\frac{cis(\frac{2×3^{13}×\pi}{727})-1}{cis(\frac{2×3^7×\pi}{727})-1}$$

$$\frac{cis(2x)-1}{cis(x)-1}$$
$$=1+cis(x)$$

ส่วนจินตภาพคือ $sin(\frac{12\pi}{727})$

[FranceZii Siriseth]

ช่วยตรวจวิธีผมด้วยนะครับ ค่อนข้างมึน
ผมว่าข้อสอบเอนท์ตรง มอ.ปีนี้ ยากขึ้นนะครับ

[nooonuii]

โจทย์สองข้อนี้ไม่ใช่ข้อสอบเอนท์ตรงมอ. ไม่ว่าจะปีไหนก็ตามครับ

[กิตติ]

เป็นข้อสอบ อัจฉริยภาพคณิตศาสตร์ ของภาคใต้ปีนี้
ข้อแรกใช้ อสมการสามเหลี่ยมได้ไหมครับ

[FranceZii Siriseth]

ผมสอบนะปีนี้ แต่จำข้อสอบไม่ได้เลย 55

ข้อนี้ก็สวยครับ

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}}\sqrt{\frac{1}{n^2}-x^2}\,dx$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

9.ให้ $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ $\left|\,z_1+z_2\right| =1$ และ $\left|\,z^2_1+z^2_2\right| =1$
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\left|\,z^3_1+z^3_2\right|$

เป็นโจทย์ข้อแรกในรอบสามเดือนที่ผมตั้งใจคิดอย่างจริงจังเลยครับ ก็คิดว่ายังมีวิธีที่ดีกว่านี้แหละนะครับ

สังเกตว่าถ้า $z_1=r(\cos\alpha+i\sin\alpha),z_2=s(\cos\beta+i\sin\beta)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องทั้งสองเงื่อนไขและทำให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่ำสุด จะได้ว่า

$w_1=r,w_2=s(\cos(\beta-\alpha)+i\sin(\beta-\alpha))$ ก็จะมีสมบัติเดียวกัน

จึงเพียงพอที่จะสมมติว่า $z_1=r,z_2=s(\cos\theta+i\sin\theta)$

จากเงื่อนไข $|z_1+z_2|=1$ จะได้ว่า

$1=r^2+s^2+2rs\cos\theta$

ยกกำลังสองสมการนี้ทั้งสองข้างจะได้

$1=r^4+s^4+4r^2s^2+2r^2s^2\cos 2\theta+4rs(r^2+s^2)\cos\theta$

จากเงื่อนไข $|z_1^2+z_2^2|=1$ จะได้ว่า

$1= r^4+s^4+2r^2s^2\cos 2\theta$

จับสองสมการสุดท้ายมาลบกันจะได้ว่า

$\cos\theta = -\dfrac{rs}{r^2+s^2}$

แทนค่าในสมการแรกจะได้

$r^2+s^2=r^4+s^4$

ดังนั้นจะได้ว่า

$|z_1^3+z_2^3|^2 = |z_1^2-z_1z_2+z_2^2|$

$=r^4+s^4+2r^2s^2\cos 2\theta +r^2s^2-2rs(r^2+s^2)\cos\theta$

$=1+r^2s^2+2r^2s^2$

$=1+3r^2s^2$

$\geq 1$

สมการเกิดเมื่อ $r=0$ หรือ $s=0$ เช่น $z_1=0,z_2=1$

ของแถม

เนื่องจาก $(r^2+s^2)^2 \leq 2(r^4+s^4)=2(r^2+s^2)$

ดังนั้น $r^2+s^2\leq 2$

จึงได้ว่า $2rs\leq r^2+s^2\leq 2$

นั่นคือ $rs\leq 1$

ดังนั้น $|z_1^3+z_2^3|^2 = 1+3r^2s^2\leq 4$

จึงได้ว่า $|z_1^3+z_2^3|\leq 2$

สมการเกิดเมื่อ $r=s=1$ และ $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$

นั่นคือ $z_1=1,z_2=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

[Thgx0312555]

ลองทำตามคุณกิตติดูคือใช้อสมการสามเหลี่ยม แต่ใช้ในรูปนี้ $|x-y| \ge ||x|-|y||$ ครับ
วิธีทำแบบย่อเป็นดังนี้

ให้ $A=x^2+2xy+y^2$, $B=x^2+y^2$, $|A|=|B|=1$
พิจารณา
$|x^3+y^3|=|x^2-xy+y^2|=|\dfrac{3ฺฺB-A}{2}| \ge \dfrac{|3|B|-|A||}{2} = 1$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ลองทำตามคุณกิตติดูคือใช้อสมการสามเหลี่ยม แต่ใช้ในรูปนี้ $|x-y| \ge ||x|-|y||$ ครับ
วิธีทำแบบย่อเป็นดังนี้

ให้ $A=x^2+2xy+y^2$, $B=x^2+y^2$, $|A|=|B|=1$
พิจารณา
$|x^3+y^3|=|x^2-xy+y^2|=|\dfrac{3ฺฺB-A}{2}| \ge \dfrac{|3|B|-|A||}{2} = 1$

สุดยอดครับ

ผมคงจะจำวิธีนี้ไปอีกนานแสนนาน

[กิตติ]

ผมต้องกราบขอโทษคุณNooonuiiและคุณThgx0312555เป็นอย่างมากเลยครับ ผมพิมพ์เป็นLATEXแล้วไม่ได้ตรวจเช็คให้รอบคอบ
เลยทำให้คุณNooonuii เสียเวลา เสียพลังงาน และคงเสียความรู้สึก ที่โจทย์ผิด ด้วยความสะเพร่าในการพิมพ์และตรวจตรา
ที่แนะแนวทางมานั้นของทั้งสองท่านเป็นประโยชน์กับผมเป็นอย่างมาก ผมขอเวลาเขียนทดในกระดาษแล้วจะนำมาให้ช่วยพิจารณากันอีกที

[cfcadet]

ขอบคุณมากครับ สำหรับโจทย์ และวิธีทำดีๆ