มาราธอน ม.ต้น

[~ToucHUp~]

ทั้งสองคนถูกต้องครับ ^^

[Metamorphosis]

เล่นกันต่อหรอครับ


กำหนด $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4-5x^3+8x^2+5x+1=0$
$\quad$ค่าของ$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ เป็นเท่าไร

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

เล่นกันต่อหรอครับ


กำหนด $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4-5x^3+8x^2+5x+1=0$
$\quad$ค่าของ$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ เป็นเท่าไร

$x^4-5x^3+8x^2+5x+1=0$
$x^2+\frac{1}{x^2}-5(x-\frac{1}{x})+8=0$
$(x-\frac{1}{x})^2-5(x-\frac{1}{x})+10=0$
$2x-\frac{2}{x}=5\pm \sqrt{-15}$ //อย่าตกใจไป รากของสมการนี้ไม่เป็นจำนวนจริง
$2x^2-(5\pm \sqrt{-15})x-2=0$
เราก็ assume ว่า // จริงๆจะ assume แบบไหนก็ตามๆใจไปเหอะ คำตอบมันเท่ากัน
$x_1,x_2$ เป็นรากของ $2x^2-(5+\sqrt{-15})x-2=0$
ดังนั้น $x_1x_2=-1,2x_1+2x_2=5+\sqrt{-15}$
นั่นคือ $(x_1^4+1)(x_2^4+1)=((x_1^2+x_2^2)^2-2x_1x_2)^2+(x_1^2x_2^2-1)^2$
$=-1.5(-49+15 \sqrt{-15})$

และ $x_3,x_4$ เป็นรากของ $2x^2-(5-\sqrt{-15})x-2=0$
ดังนั้น $x_1x_2=-1,2x_1+2x_2=5-\sqrt{-15}$
นั่นคือ $(x_1^4+1)(x_2^4+1)=((x_1^2+x_2^2)^2-2x_1x_2)^2+(x_1^2x_2^2-1)^2$
$=-1.5(-49-15 \sqrt{-15})$

;$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)}= \sqrt{12996}=114 $

ปล. ข้อนี้ generate เป็น ตัวแปรทั่วไปแทนตัวเลขได้แบบนี้มั้ง
กำหนด $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4-ax^3+bx^2+ax+1=0$
$\quad$ค่าของ$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ เป็น $2a^2+b^2$

ข้อต่อไป จง"แสดง"วิธีหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของระบบสมการ
$x+\sqrt{y+z}=33$
$y+\sqrt{z+x}=25$
$z+\sqrt{x+y}=3$

[[G]enerate]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Cachy-Schwarz

กำหนดให้ $a@b=\frac{2ab}{a^2+a+b-30}$ จงหา่ค่าของ $1@(3@(5@(...(2011@2013)))$

พิจารณา $(5@(...(2011@2013)))$
ให้ $(...(2011@2013))) = k$
จะได้ $(5@(...(2011@2013))) = \frac{2(5)(k)}{5^2+5+k-30} = 10$
จะได้ $1@(3@(5@(...(2011@2013))) = 1@(3@10) = 1@(\frac{-15}{2} ) = \frac{30}{71} $ น่าจะผิด

[polsk133]

อยากเล่นต่อครับ แต่โจทย์แก้ไม่ออก 555+

$ax+by=3,ax^2+by^2=7,ax^3+by^3=16และ ax^4+by^4=42$
จงหาค่าของ$ax^6+by^6$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

$\quad$ค่าของ$\sqrt{(x^4_1+1)(x^4_2+1)(x^4_3+1)(x^4_4+1)} $ เป็น $2a^2+b^2$
ข้อต่อไป จง"แสดง"วิธีหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของระบบสมการ
$x+\sqrt{y+z}=33$
$y+\sqrt{z+x}=25$
$z+\sqrt{x+y}=3$

ยากจัง