รวมโจทย์เรื่องแปรผัน ระดับมัธยมต้น

[banker]

เก็บมากองไว้ที่นี่




$น้ำหนัก_1 = k \dfrac{x}{y^2}$ .... (1)

$น้ำหนัก_2 = k \dfrac{1.1x}{(1.1y)^2}$ .... (2)

$\dfrac{น้ำหนัก_2}{น้ำหนัก_1} = \dfrac{1.1x}{1.21y^2} \times \dfrac{y^2}{x} = \dfrac{110}{121}$

ดังนั้น น้ำหนักลดลง $\dfrac{11}{121} \times 100 = 9 \dfrac{11}{121} \ $ %

ref : http://www.mathcenter.net/forum/show...6&postcount=45

[banker]

มา update
ข้อสอบแข่งขันไปต่างประเทศของ ก.พ สอบเมื่อ 25 ตุลาคม 2551





มี 3 คำถาม

1 ค่าลิขสิทธิ์เท่าไร

2. พิมพ์ 2,000 เล่ม ต้องการกำไร 20 % ต้องขายเล่มละเท่าไร

3. พิพมพ์ 3,000 เล่ม ขายราคาแบบข้อ 2 จะได้กำไรร้อยละเท่าใด


ข้อ 2 ก่อน
พิมพ์ 2,000 เล่ม ต้นทุน 50,000 บาท ต้องการกำไร 20 % ก้ต้องขาย $\dfrac{120}{100} \times 50,000 = 60,000$ บาท

จึงต้องขายเล่มละ $\dfrac{60000}{2000} = 30 \ $ บาท


ข้อ 3 พิมพ์ 3,000 เล่ม ขายเล่มละ 30 บาท ได้เงิน 90,000 บาท ทุน 65,000 กำไร 25,000 คิดเป็น $\dfrac{25000}{65000} \times 100 = 38.46 \ $%


ข้อ 1
ให้ค่าใช้จ่ายทั้งหมด = c บาท
จำนวนเล่ม = b เล่ม
ค่าพิมพ์เล่มละ a บาท
ค่าใช้จ่ายคงที่ = k บาท

จะได้

c = k +ab

50000 = k + 2000a ....(1)

65000 = k + 3000a ....(2)

(2) - (1) 15000 = 1000a

a = 15

จาก (1) 50000 = k + 2000(15)

k = 20000

ค่าลิขสิทธิ์ = $\dfrac{7}{8} \times 20000 = 17500 \ $ บาท

[banker]

เอามาเพิ่ม จาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11839

โดยคุณ {([Son'car])}

ถ้า p แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ a,b และ $\frac{1}{d}$
ถ้า p ลดลง 37.5% a จะเพิ่มขึ้น 50% b ลดลง 50% d จะเพิ่มหรือลดลงกี่%

จากโจทย์จะได้$ \ p=\frac{kab}{d} \ \ $ เมื่อ k เป็นค่าคงที่

เมื่อaเพิ่มขึ้น 50 % b ลดลง50% และ dเพิ่มหรือลด x %

จะได้

$\dfrac{62.5}{100}p=\dfrac{k\frac{150}{100} a\frac{50}{100} b}{\frac{x}{100} d} $


$\dfrac{62.5}{100} \cdot \dfrac{kab}{d} =\dfrac{k\frac{150}{100} a\frac{50}{100} b}{\frac{x}{100} d} $

x = 120

d เพิ่มขึ้น 20 %

[banker]

กำหนดให้ $w$ แปรผกผันกับกำลังสองของ $z$ และแปรผันตรงกับรากที่สองของ $ xy$ ถ้า $w=4$
เมื่อ $x=3,y=12$ และ $z=\sqrt{3}$ แล้วเมื่อ $ x$ มีค่าลดลง 80 เปอร์เซ็นต์ และ $y$ มีค่าลดลง 20 เปอร์เซ็นต์
และ $z$ จะต้องมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงกี่เปอร์เซ็นต์จึงจะทำให้ $w$ มีค่าลดลง 60 เปอร์เซ็นต์


$w = \dfrac{k_1}{z^2} \cdot \sqrt{xy} \cdot k_2 \ \ \ \ $ เมื่อ $k_1 , k_2 \ $ เป็นค่าคงตัว

แทนค่า จะได้
$4 = \dfrac{k_1}{\sqrt{3} ^2} \cdot \sqrt{3\cdot12} \cdot k_2 \ \ \ \ $

$k_1\cdot k_2 = 2$


$w = \dfrac{k_1}{z^2} \cdot \sqrt{xy} \cdot k_2 \ \ \ \ $

$w = \dfrac{1}{z^2} \cdot \sqrt{xy} \cdot 2 \ \ \ \ $

$z^2 = \dfrac{2}{w}\cdot \sqrt{xy} $ .......(*)




เมื่อ $ x$ มีค่าลดลง 80 เปอร์เซ็นต์ และ $y$ มีค่าลดลง 20 เปอร์เซ็นต์ $w$ มีค่าลดลง 60 เปอร์เซ็นต์ z_1 จะมีค่าดังนี้

${z_1}^2 = \dfrac{2}{0.4w}\cdot \sqrt{0.2x \cdot 0.8y} $

${z_1}^2 = \dfrac{2}{0.4w}\cdot 0.4\sqrt{xy} $

${z_1}^2 = \dfrac{2}{w}\cdot \sqrt{xy} $ .......(**)


$z = z_1$

ตอบ $z $ ไม่เปลี่ยนแปลง

[กิตติ]

ยกนิ้วให้ครับลุงBanker....อุตสาห์สละเวลาและแรงนั่งรวบรวมกระทู้มาให้อ่านง่ายขึ้นและยังช่วยอธิบายแสดงวิธีทำให ้ดูด้วย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ยกนิ้วให้ครับลุงBanker....อุตสาห์สละเวลาและแรงนั่งรวบรวมกระทู้มาให้อ่านง่ายขึ้นและยังช่วยอธิบายแสดงวิธีทำให ้ดูด้วย

ยินดีครับ

ผมว่าเรื่องแปรผันง่ายที่สุด เป็นข้อแจกคะแนน

[banker]

สมบูรณ์เปิดโรงงานผลิตปากกา ซึ่งมีค่าใช้จ่ายต่อวันเป็น 2 ส่วน โดยค่าใช้จ่ายส่วนแรก คือค่าจ้างคนงานวันลั 1200 บาท
และค่าใช้จ่ายส่วนที่ 2 คือค่าต้นทุนผลิตปากกา ด้ามละ 2 บาท ถ้าเขาขายปากกา x ด้าม ก็จะได้เงิน $100\sqrt{x} $ แล้ว จงหาว่า สมบูรณ์ต้องขายปากกากี่ด้ามจึงเริ่มมีกำไร

ref : http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12345

$1200 + 2x = 100\sqrt{x} $

$1440000 + 4800x+4x^2 = 10000x$

$x^2 -5200x + 1440000$

$x^2 - 1300x +360000$

$(x-400)(x-900)$

$x = 400, \ \ 900$

ใช้ได้ทั้งสองค่า แต่ 400 น้อยกว่า

ผลิต 400 ด้าม จะเท่าทุน

ดังนั้นต้องผลิตแล้วขายได้ 401 ด้ามขึ้นไป จึงจะเริ่มมีกำไร
(ผลิตแต่ขายไม่ได้ ก็ไม่มีกำไร)


(ปากกาด้ามเดียว มีถามหลายกระทู้
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=101995
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=103887
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=103534 )

[banker]

ค่าใช้จ่ายในการเดินเรือโดยสารแห่งหนึ่ง ประกอบด้วย ดอกเบี้ยของเงินต้นซึ่งแปรผันตามเวลาที่ใฃ่ในการเดินเรือ
กับค่าน้ำมันและค่าซ่อมซึ่งแปรผันตามกำลังสองของความเร็ว ถ้าเดินเรือโดยสารด้วยความเร็ว 25 ไมล์ ต่อชั่วโมง
จะเสียค่าใช้จ่าย 1830 บาท แต่ถ้าลดความเร็วลง 5 ไมล์ ต่อ ชั่วโมง จะเสียค่าใช้จ่ายลดลงถึง 610 บาท อยาก
ทราบว่า ถ้าเดินเรือโดยใช้ความเร็ว 40 กิโลเมตร ต่อชั่วโมงจะเสียค่าใช้จ่ายทั้งสิ้นที่บาท (อันนี้ก็ไม่ใช่สมาคมครับ)

ข้อนี้หมูมาก

โจทย์ถาม "ถ้าเดินเรือโดยใช้ความเร็ว 40 กิโลเมตร ต่อชั่วโมงจะเสียค่าใช้จ่ายทั้งสิ้นที่บาท"

40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ก็เท่ากับ $\frac{40}{1.6} = 25 \ $ ไมล์ต่อชั่วโมง

จากโจทย์ "ถ้าเดินเรือโดยสารด้วยความเร็ว 25 ไมล์ ต่อชั่วโมง
จะเสียค่าใช้จ่าย 1830 บาท "

ดังนั้นตอบว่า 1830 บาท


ปัญหาคือ 1 ไมล์เท่ากับกี่กิโลเมตร
ถ้า ใช้ไมล์ทะเล 1 ไมล์ทะเลเท่ากับ 1.8 กิโลเมตร ก็ต้องยุ่งยากหน่อย

ขออนุญาตเปลี่ยนเป็น 40 ไมล์ต่อชั่วโมงก็แล้วกัน

A = ค่าใช้จ่าย
I = ดอกเบี้ย
t = เวลา
s = ค่าน้ำมัน+ค่าซ่อม
v = ความเร็ว (ไมล์ต่อชั่วโมง)
m = ระยะทาง (ไมล์)

จากโจทย์
$A = I + s$

$A = k_1t + k_2v^2 \ \ $ เมื่อ $k_1, \ k_2 \ $เป็นค่าคงตัว


ถ้าเดินเรือโดยสารด้วยความเร็ว 25 ไมล์ ต่อชั่วโมง
จะเสียค่าใช้จ่าย 1830 บาท

$1830 = k_1t_1 +k_2 \cdot 25^2 $

$1830 = k_1(\frac{m}{25}) +k_2 \cdot 25^2 $

$45750 = k_1m + 15625 k_2 $ ....(*)


แต่ถ้าลดความเร็วลง 5 ไมล์ ต่อ ชั่วโมง จะเสียค่าใช้จ่ายลดลงถึง 610 บาท

$1830-610 =1220 = k_1t_2 +k_2 \cdot 20^2$

$1830-610 =1220 = k_1(\frac{m}{20}) +k_2 \cdot 20^2$

$24400 = k_1m +8000k_2$ ....(**)

(*) - (**) $ \ \ 21350 = 7625k_2$

$k_2 = 2.8$

แทนค่าใน (**) จะได้ $ \ \ k_1m = 2000$

ดังนั้นถ้าวิ่งด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมง จะเสียค่าใช้จ่ายเท่ากับ $ \ k_1(\frac{m}{40}) + k_2 40^2$

$ = \frac{2000}{40} + 2.8 \times 1600 = 4530 \ $บาท

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MaTh FoCuS

4. กำหนดให้ $\frac{1}{a^3}$ เเปรผันตรงกับ $bc^2$
$b$ เเปรผันตรงกับ $d^2$
$c$ แปรผกผันกับ $a^2$
ถ้า $a=18$ เมื่อ $d=3$ เเล้ว $d^6$ มีค่าเท่าไร เมื่อ $a=12$

$c = \frac{k_1}{a^2}$

$b = k_2 d^2$

$\frac{1}{a^3} = k_3bc^2$

$\frac{1}{a^3} = k_3 \cdot k_2 d^2 \cdot (\frac{k_1}{a^2})^2$

$a =( k_1)^2k_2k_3d^2$ ....(*)

ถ้า $a=18$ เมื่อ $d=3$

$18 =( k_1)^2k_2k_33^2$

$( k_1)^2k_2k_3 = 2$

$d^6$ มีค่าเท่าไร เมื่อ $a=12$

$12 = 2 \cdot d^2$

$d^6 = 6^3 = 216$



ref : http://www.mathcenter.net/forum/show...389#post116389

[banker]

ในการหยุดรถยนต์ เมื่อเราเบรกกะทันหันรถจะไม่หยุดนิ่งทันที แต่จะมีการลื่นไถลไปอีกระยะหนึ่ง ถ้าให้ระยะทางของรอยที่ลื่นไถล L เมตร แปรผันตรงกับกำลังสองของอัตราเร็วของรถยนต์ (V กิโลเมตรต่อชั่วโมง) ขณะแตะเบรก ถ้าในการเบรกครั้งหนึ่งเกิดระยะทางของรอยที่ลื่นไถล 75 เมตร เกิดจากการแตะเบรกในขณะที่รถยนต์วิ่งด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาว่า
1. ถ้าเบรกรถยนต์ขณะที่กำลังแล่นด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร / ชั่วโมง อย่างกะทันหันรอยลื่นไถลจะยาวเท่าใด?
2. ถ้าวัดรอยลื่นไถลได้ยาว 40 เมตร ขณะเหยียบเบรกรถยนต์แล่นด้วยความเร็วเท่าใด?

ref : http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12934

ให้ระยะทางของรอยที่ลื่นไถล = L (เมตร)

อัตราเร็วของรถยนต์ = V (กิโลเมตรต่อชั่วโมง)

$L = V^2K$

ถ้าในการเบรกครั้งหนึ่งเกิดระยะทางของรอยที่ลื่นไถล 75 เมตร เกิดจากการแตะเบรกในขณะที่รถยนต์วิ่งด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

$75 = 60^2K$

$K = \dfrac{75}{60^2}$

1. ถ้าเบรกรถยนต์ขณะที่กำลังแล่นด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตร / ชั่วโมง อย่างกะทันหันรอยลื่นไถลจะยาวเท่าใด?

$L = 40^2 \times \dfrac{75}{60^2} = \dfrac{100}{3} \ $เมตร

2. ถ้าวัดรอยลื่นไถลได้ยาว 40 เมตร ขณะเหยียบเบรกรถยนต์แล่นด้วยความเร็วเท่าใด?

$40 = V^2 \times \dfrac{75}{60^2}$

$V = 8\sqrt{30} \ $ กิโลเมตรต่อชั่วโมง

[banker]

h = ความสูง (เซนติเมตร)

w = น้ำหนัก (กิโลกรัม)

m = น้ำหนักของที่ยกได้ (กิโลกรัม)


$ w = k_1m^2$

$ h^2 = k_2w^3 = k_2(k_1m^2)^3 = k_2 (k_1)^2m^6$ ......(1)

$ (1.331h)^2 = k_2 (k_1)^2m_2^6$ ......(2)

$ \frac{(1)}{(2)} \ \ \ \ \frac{(1.331h)^2 }{h^2} = \frac{k_2 (k_1)^2m_2^6 }{ k_2 (k_1)^2m^6}$

$\frac{m_2 ^6}{m^6} = 1.331^2$

$\frac{m_2}{m} = \sqrt[3]{ 1.331} = \sqrt[3]{ 1.1^3} = 1.1 \ $เท่า

[banker]

กำหนดให้$ \ y = A + B + C $ เมื่อ $A$ แปรผันตรงตาม $x, \ \ B$ แปรผกผันกับ $ \ \frac{1}{x^{2}} \ $ และ $ \ C \ $ แปรผันตรงกับ $ \frac{1}{x^{3}} \ $
ถ้า $ \ x = 1 \ $ แล้ว $ \ y = 2, \ $ ถ้า $ \ x = 2 \ $แล้ว $ \ y = -24 \ $และถ้า $ \ x = -1 \ $ แล้ว $ \ y = 0 \ $ จงหาค่า$ \ y \ $ เมื่อ $ \ x = -2 \ $

1. 4
2. 9
3. 32
4. คำตอบเป็นแบบอื่น


$y = A+B+C = k_1x + \frac{k_2}{\frac{1}{x^2}} + \frac{k_3}{x^3} = k_1x+ k_2x^2 + \frac{k_3}{x^3}$


ถ้า x = 1 แล้ว y = 2
$2 = k_1(1)+ k_2(1)^2 +\frac{k_3}{(1)^3}$

$k_1+k_2+k_3 = 2$ ............(1)


ถ้า x = 2 แล้ว y = -24
$-24 = k_1(2)+ k_2(2)^2 + \frac{k_3}{2^3}$

$2k_1+4k_2+\frac{k_3}{8} = -24$ ............(2)


ถ้า x = -1 แล้ว y = 0
$0 = k_1(-1)+ k_2(-1)^2 + \frac{k_3}{(-1)^3}$

$-1k_1+k_2- k_3 = 0$ ............(3)


(1)+(3) $ k_2 = 1$............(4)

แทนค่า $ k_2 = 1$ ใน (2) จะได้ $2k_1+4(1)+\frac{k_3}{8} = -24 \ \ \ \to \ -2k_1-\frac{k_3}{8} = 28$ ............(5)


จงหาค่า y เมื่อ x = -2
$y = k_1(-2)+ k_2(-2)^2 + \frac{k_3}{(-2)^3} = -2k_1+4k_2-\frac{k_3}{8} = 28+4(1) = 32 $


ตอบ ข้อ3.

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1772

[banker]

กำหนด $y^3 \propto x^2$ เมื่อ $x = 3 \ $ จะได้ $ \ y = 3 \ $ จงหาค่า $ \ y \ $เมื่อ $ \ x = 9$

$ 1 \ \ \ 3\sqrt[3]{3}$
$ 2 \ \ \ 9\sqrt[3]{3}$
$ 3 \ \ \ 81\sqrt[3]{3}$
$ 4 \ \ \ 3\sqrt[3]{9}$

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1879


$y3 \propto x^2$

$y^3 = kx^2$

$3^3 = k 3^2$

$k = 3$

$y^3 = 3 (9)^2$

$y = 3 (3^{\frac{2}{3}})$

$y = 3 \sqrt[3]{9} $

[Worrchet]

จาก1. รายจ่ายค่าน้ำประปาของบ้านหลังหนึ่งแบ่งเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่หนึ่งคงที่ แต่อีกส่วนหนึ่งจะแปรตามคนในบ้าน โดยถ้าเดือนไหนมีคนเดียวจะเสียค่าน้ำเดือนละ 57 บาท หากเดือนใดมีคนอยู่บ้าน 5 คน ก็จะเสียค่าน้ำเดือนละ 185 บาท อยากทราบว่าถ้ามีคนอยู่ในบ้าน 3 คน ตลอดเดือนนั้นแล้วจะต้องจ่ายค่าน้ำประปาเท่าไหร่
ตอบ 121 ใช่ไหมครับ

[banker]

ใช่ครับ

เอาแบบง่ายๆก็ได้

185 -57 =128

128/4 = 32

57+32+32 = 121

จากตัวเลข ลองใส่คำบรรยายดูครับ