มาราธอน ม.ต้น

[kimchiman]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

5.กำหนดให้$n$เป็นจำนวนเต็มบวกถ้ามีจำนวนเต็มบวกที่หาร$5n$ลงตัวอยู่$24$ตัวและมีจำนวนเต็มบวกที่หาร$7n$ลงตัวอยู่$25$ตัวแล้วจำนวนเต็ม บวกที่หาร$n^2$ลงตัวมีทั้งหมดกี่ตัว

จาก "มีจำนวนเต็มบวกที่หาร$7n$ลงตัวอยู่$25$ตัว"
จะได้ว่า $7n จะสามารถเขียนให้อยู่ในรูป p^24 หรือ p^4q^4 เมื่อ p,q เป็นจำนวนเฉพาะ$ และ 7/7n
ทำให้ $n=7^24 หรือ 7^3q^4$

จาก "มีจำนวนเต็มบวกที่หาร$5n$ลงตัวอยู่$24$ตัว"
จะได้ $5n=5(7^24) หรือ 5(7^3)(q^4) หรือ 7^35^5$
กรณีที่ทำให้ 5n มีตyวประกอบ 24 ตัวคือ $5n=7^35^5$
$n=7^35^4$
$n^2=7^65^8$
$n^2 มีตัวประกอบ 63 ตัว$

[{([Son'car])}]

ถูกต้องแล้วครับ

เชิญข้อต่อไปเลยครับ

[kimchiman]

6. จงหาค่าของ $tan(arctan\frac{1}{2}+arctan\frac{1}{8}+arctan\frac{1}{18}+arctan\frac{1}{32}+...+arctan\frac{1}{19602})$

[Cachy-Schwarz]

โห

[ราชาสมการ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kimchiman

6. จงหาค่าของ $tan(arctan\frac{1}{2}+arctan\frac{1}{8}+arctan\frac{1}{18}+arctan\frac{1}{32}+...+arctan\frac{1}{19602})$

ม.ต้น โหดไปแล้วมั่งครับ

[kimchiman]

หรอครับ งั้น hint หน่อยละกัน
$tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)} $

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kimchiman

6. จงหาค่าของ $tan(arctan\frac{1}{2}+arctan\frac{1}{8}+arctan\frac{1}{18}+arctan\frac{1}{32}+...+arctan\frac{1}{19602})$

Guide

ให้ $\displaystyle S_n=\sum_{i = 1}^{n} \arctan\frac{1}{2i^2}$

ลองใช้ Math Induction พิสูจน์ $\displaystyle \tan S_n=\frac{n}{n+1}$

[Ne[S]zA]

เอ่อ มันเกินม.ต้นแล้วละครับ
$$\sum_{n = 1}^{99} arctan(\dfrac{1}{2n^2})=\sum_{n = 1}^{99} arctan(\dfrac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(4n^2-1)})=\sum_{n = 1}^{99} arctan(2n+1)-arctan(2n-1)=arctan199-\dfrac{\pi}{4}$$
ช่วยตรวจด้วยครับ

[kimchiman]

คุณ Ne[S]zA ลืมใส่ tan ครับ

[kimchiman]

คุณ Ne[S]zA เชิญตั้งต่อเลยครับ

[Ne[S]zA]

จงหาผลเฉลยของระบบสมการ
$$2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=6$$
$$x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=12$$
$$x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=24$$
$$x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=48$$
$$x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=96$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+2x_{10}=3072$$
และหาค่าของ $3x_4+2x_5$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงหาผลเฉลยของระบบสมการ
$$2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6$$
$$x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5=12$$
$$x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5=24$$
$$x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5=48$$
$$x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5=96$$
และหาค่าของ $3x_4+2x_5$

copy มาจาก พีัชคณิตคิดเพื่อชาติใช่ไหมครับ

บวกกันให้หมด ลบแต่ละสมการ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

จงหาผลเฉลยของระบบสมการ
$$2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6$$---------(1)
$$x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5=12$$--------(2)
$$x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5=24$$--------(3)
$$x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5=48$$--------(4)
$$x_1+x_2+x_3+x_4+2x_5=96$$--------(5)
และหาค่าของ $3x_4+2x_5$

นำทั้ง 5 สมการบวกกันเเล้วหารด้วย6 จะได้
$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=31$$---------(6)
นำ (4)-(6)จะได้ $x_4=17$แล้ว $3x_4=51$
นำ (5)-(6)จะได้ $x_5=65$แล้ว $2x_5=130$
ดังนั้น $3x_4+2x_5$=181

[Ne[S]zA]

เร็วได้อีก อุตส่าเปลี่ยนเป็น 10 สมการละ ตั้งข้อต่อไปเลย!

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {([Son'car])}

5.กำหนดให้$n$เป็นจำนวนเต็มบวกถ้ามีจำนวนเต็มบวกที่หาร$5n$ลงตัวอยู่$24$ตัวและมีจำนวนเต็มบวกที่หาร$7n$ลงตัวอยู่$25$ตัวแล้วจำนวนเต็ม บวกที่หาร$n^2$ลงตัวมีทั้งหมดกี่ตัว

น่าจะ copy มาจากกระทู้ของ Julian ที่เอามาจาก ...

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

เราจะต้องรู้ก่อนว่า $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_n^{a_n}$ โดยที่ $p_k$ เป็น $prime number$ จะมีตัวประกอบ $(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_n+1)$ ตัว
พิจารณา $7n$ มีตัวประกอบ $25$ ตัว แต่ $25=1 \times 25=5 \times 5$
case1 $7n=p_1^{24}$
จะได้ว่า $p_1=7 only$
$\therefore n=p_1^{23}$
จะได้ $5n=5p_1^{23}$
case1.1 $p_1=5$
จะได้ $5n=5^{24}$ มีตัวประกอบ $25$ ตัวใช้ไม่ได้
case1.2$ p_1 \not= 5$
จะได้ว่า $5n=5p_1^{23}$ มีตัวประกอบ $48$ ตัว ใช้ไม่ได้
$\therefore case 1$ ใช้ไม่ได้
case 2 $7n=p_1^{4}p_2^{4}$
จาก $p_1$ และ $p_2$ สมมาตรกันให้ $p_1=7$
จะได้ $n=7^3p_2^{4}$
$\therefore 5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}$
case 2.1 $p_2 \not= 5 \not= 7$
จะได้ $5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}$ จะมีตัวประกอบ $40$ ตัว ใช้ไม่ได้
case2.2 $p_2 = 7$
จะได้ $5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}=5 \times 7^7$ จะมีตัวประกอบ $16$ ตัว ใช้ไม่ได้
case 2.3 $p_2 = 5$
จะได้ $5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}=5^5 \times 7^3$ จะมีตัวประกอบ $24$ ตัว ใช้ได้
$\therefore n=5^4 \times 7^3$
$n^2=5^8 \times 7^6$ มีตัวประกอบ $63$ ตัว
จาก $case 1$ และ $2$ จะได้ว่า $n^2$ จะมีจำนวนที่หารลงตัว $63$ ตัว only