รบกวนช่วยพิสูจน์สูตรของปริมาตรกรวยยอดตัดและพีระมิดยอดตัดครับ

[Yo WMU]

อยากทราบวิธีพิสูจน์กรวยยอดตัดที่ว่า
กรวยยอดตัดที่มีรัศมีที่ฐานยาว R หน่วย รัศมีของส่วนยอดที่ถูกตัดเท่ากับ r หน่วย กรวยสูงตรง h หน่วย จะมีปริมาตรเท่ากับ

$$ ปริมาตร = \frac{1}{3} \pi \left(R^2 + Rr + r^2\right) h $$

และพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีฐานยาวด้านละ a หน่วย หน้าตัดที่ถูกตัดออกมามีด้านยาวด้านละ b หน่วย สูงตรงของพีระมิดยอดตัดเป็น h หน่วย จะมีปริมาตรเท่ากับ

$$ ปริมาตร = \frac{1}{3} \left(a^2 + ab + b^2 \right) h $$

ขอบคุณมากนะครับ

[nongtum]

คำแนะนำ: วาดรูปทรงตัดก่อน แล้วต่อเส้นขอบให้ตัดกันที่มุมยอด
ปริมาตรทรงตัด = ปริมาตรก่อนตัดปลาย - ปริมาตรส่วนปลาย
หาขนาดทุกขนาดที่เกี่ยวข้องกับการหาปริมาตรของทรงตันไม่ตัดปลายให้ครบโดยใช้สามเหลี่ยมคล้าย คำนวนปริมาตรแล้วหาผลต่าง

[[SIL]]

ลองคิดดูนะครับเอาสามเหลี่ยมข้างมาประกบกันจะกลายเป็นกรวยเล็กๆ เอ ใช่แบบนี้รึปล่าวนา

[Ne[S]zA]

การที่จะหาปริมาตรได้เราต้องรูปความสูงของพีระมิดยอด
หาความสูงโดยสามเหลี่ยมคล้ายจากรูป(ซ้าย)
ได้ว่า $\frac{x}{x+h}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}}$
${\frac{x}{x+h}}=\frac{a}{b}$
ได้ $x=\frac{bh}{a-b}$
so $ปริมาตรของพัระมิดยอด = {\frac{1}{3}}b^2(\frac{bh}{a-b})$
และ $ปริมาตรของพีระมิดใหญ่ =\frac{1}{3}{a^2}(h+{\frac{bh}{a-b}})$
เพราะว่า ปริมาตรพีระมิดยอดตัด = พีระมิดใหญ่-พีระมิดยอด
$={\frac{1}{3}}{a^2}(h+\frac{bh}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}{a^2}(\frac{ah+bh-hb}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}{a^2}(\frac{ah}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}({\frac{a^3h}{a-b}})-{\frac{1}{3}}({\frac{b^3h}{a-b}})$
$={\frac{h}{3(a-b)}}({a^3-b^3})$
$={\frac{h}{3(a-b)}}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
เพราะฉะนั้น
$ปริมาตรของพีระมิดยอดตัด={\frac{h}{3}}{(a^2+ab+b^2)}$
กรวยก็ใช้การพิสูจน์คล้ายๆกันนะครับ ลองไปพิสูจน์เอง

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

การที่จะหาปริมาตรได้เราต้องรูปความสูงของพีระมิดยอด
หาความสูงโดยสามเหลี่ยมคล้ายจากรูป(ซ้าย)
ได้ว่า $\frac{x}{x+h}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}}$
${\frac{x}{x+h}}=\frac{a}{b}$
ได้ $x=\frac{bh}{a-b}$
so $ปริมาตรของพัระมิดยอด = {\frac{1}{3}}b^2(\frac{bh}{a-b})$
และ $ปริมาตรของพีระมิดใหญ่ =\frac{1}{3}{a^2}(h+{\frac{bh}{a-b}})$
เพราะว่า ปริมาตรพีระมิดยอดตัด = พีระมิดใหญ่-พีระมิดยอด
$={\frac{1}{3}}{a^2}(h+\frac{bh}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}{a^2}(\frac{ah+bh-hb}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}{a^2}(\frac{ah}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}({\frac{a^3h}{a-b}})-{\frac{1}{3}}({\frac{b^3h}{a-b}})$
$={\frac{h}{3(a-b)}}({a^3-b^3})$
$={\frac{h}{3(a-b)}}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
เพราะฉะนั้น
$ปริมาตรของพีระมิดยอดตัด={\frac{h}{3}}{(a^2+ab+b^2)}$
กรวยก็ใช้การพิสูจน์คล้ายๆกันนะครับ ลองไปพิสูจน์เอง

ย่าวน่าดูเลยนะคับ

[Yo WMU]

ผมเพิ่งว่างเข้ามาดู ขอบคุณคุณ Ne[S]zA มากนะครับ เข้าใจแล้วครับ