เกี่ยวกับ f(n)

[Rovers]

1. กำหนดให้ f(n) เป็นผลบวก n พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้
0,1,1,2,2,3,3,4,4,...,r,r,r+1,r+1,...
จงเขียนสูตรกำหนด f(n) สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ และพิสูจน์ว่า f(s+t) - f(s-t) = st สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก s และ t ที่ s > t

แนะๆหน่อยครับ ผมลองคิดแล้วไม่รู้ว่ามาถูกทางมั้ย
มันจะได้ f(1) = 0
f(2) = 1
f(3) = 2
f(4) = 4
f(5) = 6
f(6) = 9
f(7) = 12 แล้ว conjecture ว่า f(n) = ...

2. กำหนดให้ลำดับ a₀ ,a₁,a₂, ... สอดคล้องกับเงื่อนไข a_m+n + a_m-n = (1/2)(a_2m + a_2n) สำหรับทุกๆจำนวนเต็ม m ณ n ถ้า a₁ = 1 จงหา a₂₀₀₃

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 1 นะครับ
ก่อนอื่นสังเกตว่า พจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ $ \cases{ \frac{n-1}2 & ,n\ เป็นจำนวนคี่ \cr \frac n2 & , n\ เป็นจำนวนคู่}$
ผมจะลองเขียน f(n) ใหม่นะครับ
f(1) $=\frac{1-1}2$
f(2) $=\frac{1-1}2+\frac22$
f(3) $=\frac{1-1}2+\frac22+\frac{3-1}2$
f(4) $=\frac{1-1}2+\frac22+\frac{3-1}2+\frac42$
$\displaystyle{ \vdots}$
f(n) $=\frac{(1-1)+(2)+(3-1)+(4)+(5-1)+...+พจน์สุดท้าย}2$
$\quad \ \ =\frac{(1+2+3+...+n)-1(x)}2$
*หมายเหตุ
พจน์สุดท้ายคือ n-1 สำหรับ n เป็นคี่
และเป็น n สำหรับ n เป็นคู่

มาดูกันครับ ว่า ต้อง -1 ไปกี่ตัว (ตอนนี้ผมให้เป็น x ตัวไปก่อนะครับ)

กรณี n เป็นจำนวนคี่
พบว่ามี -1 ที่พจน์ที่ 1 , 3 , 5 , ... , n
นั่นคือมี -1 อยู่ $\frac{n+1}2$ พจน์
หรือ $ x\ =\ \frac{n+1}2$
จtได้
f(n) = $\frac{(1+2+3+...+n)-1(\frac{n+1}2)}2$
$\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{n(n+1)}2-1(\frac{n+1}2)}2}$
$\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{(n+1)(n-1)}2}2}$
$\displaystyle{\quad \ \ =\frac{(n^2-1)}4}$
$\displaystyle{\quad \ \ =\frac{n^2}4}-\frac14$

กรณี n เป็นจำนวนคู่
พบว่ามี -1 ที่พจน์ที่ 1 , 3 , 5 , ... , n - 1
นั่นคือมี -1 อยู่ $\frac{n}2$ พจน์
หรือ $ x\ =\ \frac{n}2$
จtได้
f(n) = $\frac{(1+2+3+...+n)-1(\frac{n}2)}2$
$\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{n(n+1)}2-1(\frac{n}2)}2}$
$\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{(n)(n+1-1)}2}2}$
$\displaystyle{\quad \ \ =\frac{n^2}4}$


เอา 2 กรณี มายุบรวมกันจะได้ conjecture ว่า
$$f(n)=\frac {n^2}4 -\frac 14 \bigg( \frac{1+(-1)^{n+1}}2\bigg)$$
แล้วก็ induction เพื่อให้การพิสูจน์สมบูรณืครับ


---------------------------------------------------------------------------------
มาทำโจทย์ต่อนะครับ แทนค่าลงในสูตรเมื่อกี๊
$$f(s+t)=\frac {(s+t)^2}4 -\frac 14 \bigg( \frac{1+(-1)^{s+t+1}}2\bigg)$$
$$f(s-t)=\frac {(s-t)^2}4 -\frac 14 \bigg( \frac{1+(-1)^{s-t+1}}2\bigg)$$

จากทฤษฏีจำนวน จะได้ว่า s + t และ s - t มีภาวะเป็นคู่ หรือ คี่เหมือนกัน
นั่นคือ $(-1)^{s+t+1}=(-1)^{s-t+1}$
จะได้ส่วนหลังเหมือนกัน
ดังนั้น
$$f(s+t)-f(s-t)=\frac {(s+t)^2}4 -\frac {(s-t)^2}4$$
$$\qquad \qquad \ \ =\frac {(2s)(2t)}4$$
$$\qquad \qquad \ \ =\ st $$

ขออภัย พิมพ์ยาวไปหน่อยครับ อีกข้อเดี๋ยวตั้งอีกโพสต์นึงละกัน

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อที่ 2
หา $a_0$ ก่อนนะครับ
ให้ n = m
$ a_{2m} + a_0 = \frac 12 (a_{2m} + a_{2m}) $
$\therefore a_0 \ =\ 0 $

ต่อมาให้ n = 0
$ a_{m} + a_{m}= \frac 12 (a_{2m} + a_0) $
$ \therefore a_{2m}= 4a_m $
ทำให้ได้ $a_2\ =\ 4a_1\ =\ 4 $

สุดท้ายละครับ ให้ n = 1
$ a_{m+1} + a_{m-1}= \frac 12 (a_{2m} + a_2) $
$ a_{m+1} + a_{m-1}= \frac 12 (4a_m + 4) $
$ a_{m+1} = 2a_m -2a_{m-1} + 2 $
ทำให้สามารถหา $a_3,a_4,... ได้$
ลองไล่ดูนะครับ
$a_0 \ =\ 0 $
$a_1 \ =\ 1 $
$a_2 \ =\ 4 $
$a_3 \ =\ 9 $
$a_4 \ =\ 16 $
$\vdots$
จึง conjecture ได้ว่า
$a_n \ =\ n^2 $

จะพิสูจน์ด้วย induction นะครับ
ให้ p(n) แทนข้อความที่ว่า $ a_n \ =\ n^2 $
ขั้นฐาน
p(0) : $a_0\ =\ 0$
p(1) : $a_1\ =\ 1$
เป็นจริงอยู่แล้วจากที่เราหามาเมื่อกี๊ แล้วก็โจทย์กำหนดให้
ขั้นอุปนัย
ให้ p(k-1) , p(k) เป็นจริง
นั่นคือ $a_{k-1}\ =\ (k-1)^2$ และ $a_{k} = k^2$
จะได้ $a_{k+1}\ =\ 2(k^2)-(k-1)^2+2$
$\qquad \qquad =\ 2k^2 - k^2+2k-1+2$
$\qquad \qquad =\ k^2 +2k+1$
$\qquad \qquad =\ (k+1)^2$

โดยกการอุปนัยเชิงคณืตศาสตร์จะได้ว่า
p(n) เป็นจริง ทุกๆจำนวนเต็ม n$\geq$1
------------------------------------------------------
เอาที่โจทย์ถามมาแทนในสูตรนะครับ
$\therefore a_{2003}\ =\ ({2003})^2$
นั่นเองครับ

[R-Tummykung de Lamar]

เอ..ผมว่าผมเจอ bugs แล้วนะครับ
ไม่ทราบว่าคนอื่นเห็นเหมือนกันรึเปล่า
1.ไม่ประมวลผลครับ ผมลองเช็คดูโค้ดแล้ว ลองแก้ไขแล้ว refresh แล้ว ก็ยังเหมือนเดิมคือไม่ประมวลผลครับ
ในที่ preview ยังประมวลผลเลยครับ

2.เครื่องหมายเพี้ยนไป
คือจาก , มันออกมาเป็น ;
ผมลองเช็คแล้วเหมือนกันครับ
ดูรูปประกอบได้เลยครับ
(เป็น 2 bugs ในกระทู้นี้อะคับ ลองเลื่อนๆขึ้นไปดูว่าเห็นเหมือนผมรึเปล่า)