E8 group?

[passer-by]

มีใครที่เชี่ยวชาญทาง Advance Algebra พอจะอธิบายง่ายๆได้มั้ยครับว่า E8 group มันคืออะไร และสำคัญอย่างไร

เพราะผมเห็นมันเป็นข่าวใหญ่โตเมื่อ 2 อาทิตย์ก่อน (ตาม link ข้างล่างนั่นแหละครับ)

MATHS NEWS

[nongtum]

ขอบคุณที่แชร์ข่าวครับ
ผมไม่แน่ใจว่าคุณ passer-by ได้ลองเข้าไปดูในเวบเหล่านี้หรือยัง ไม่รู้ว่าจะช่วยแก้ข้อสงสัยได้ไหม

http://en.wikipedia.org/wiki/E8_(mathematics)
http://www.mathcenter.net/forum/show...7399#post17399
http://asymptotia.com/2007/03/19/e8/
http://www.spiegel.de/wissenschaft/m...472569,00.html (อธิบายเห็นภาพ แต่เป็นภาษาเยอรมัน โปรดใช้ language tool ของกูเกิลช่วยแปล)

[warut]

ผมเคยคิดอยู่เหมือนกันว่าจะโพสต์ถามเรื่องนี้ แต่พอดีตอนนั้นยุ่งๆ ผมเดาว่าประเด็นหลักของเรื่องนี้ไม่ใช่ algebra นะครับ แต่ก็ไม่รู้เหมือนกัน คงต้องรอผู้รู้มาตอบล่ะครับ

ลองอ่านที่ http://www.liegroups.org/kle8.narrative.html สิครับ สนุกดี

ไม่น่าเชื่อครับว่า Noam Elkies (number theorist ชื่อดังคนที่ผมเคยพูดถึง) จะเข้ามามีส่วนเกี่ยวข้องกับ project นี้ด้วย

[DAKONG]

อันนี้เป็นแค่ข่าวภาษาไทยอ่ะครับ

http://www.ihtthaiday.com/Science/Vi...=9500000035056


บีซีนิวส์/เอ็มไอที/เรดออร์บิทนิวส์ ? 18 นักคณิตศาสตร์ระดมสมอง 4 ปีทำแผนที่ E8 โครงสร้าง 248 มิติ อันเป็นแนวทางอธิบายโครงสร้างสมมาตร 3 มิติ ใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ประมวลผลให้ข้อมูลมากกว่าจีโนมมนุษย์ 60 เท่า หากเขียนผลลัพธ์ลงกระดาษต้องใช้พื้นที่เท่าเกาะแมนฮัตตัน นักฟิสิกส์เชื่อจะเป็นหนทางสู่ ?ทฤษฎีสรรพสิ่ง? ที่จะรวมแรงโน้มถ่วงเข้าแรงพื้นฐาน

ทีมนักคณิตศาสตร์นานาชาติ 18 คนได้ใช้เวลาร่วม 4 ปีเพื่อทำแผนที่โครงสร้าง 248 มิติ (248-dimensional structure) ที่เรียกว่า E8 ซึ่งเป็นหนึ่งในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ใหญ่ที่สุดและซับซ้อนที่สุด ซึ่งหากเขียนผลออกมาบนกระดาษจะกินพื้นที่ขนาดเกาะแมนฮัตตันของสหรัฐอเมริกา หรือหากนำไปบรรจุลงคอมพิวเตอร์จะกินข้อมูลถึง 60 กิกะไบต์ และหากแปลงเป็นไฟล์เพลงแบบเอ็มพี 3 จะต้องฟังกันต่อเนื่องถึง 45 วันถึงจะจบ

ทั้งนี้ E8 คือส่วนหนึ่งของ ?ลี กรุป? (Lie group) ซึ่งเป็นแนวทางในการอธิบายความสมมาตรของวัตถุ คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ โซฟัส ลี (Sophus Lie) ตั้งแต่ปี 1887 เพื่อจะศึกษาเรื่องกฎของความสมมาตร ซึ่งลี กรุปนั้นเป็นหัวใจของโครงสร้างสมมาตร 3 มิติทั้งหมด ตั้งแต่ทรงกลม ทรงกระบอก จนถึงรูปกรวยและพื้นที่สี่เหลี่ยม และนักวิจัยในปัจจุบันเชื่อว่าการค้นหาโครงสร้างของ E8 ครั้งนี้จะช่วยการศึกษาบางศาสตร์ของฟิสิกส์ที่ค้นคว้ามิติมากกว่า 4 มิติได้ เช่น ทฤษฎีสตริง (String Theory) เป็นต้น

งานวิจัยเกี่ยวกับเรื่องนี้มีความสำคัญเพราะอาจจะเป็นเรื่องที่นำไปสู่การค้นพบใหม่ๆ ทางคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์และศาสตร์ด้านอื่นๆ ได้ เหนือไปกว่านั้นการคำนวณระดับนี้ยังเป็นกุญแจที่นำไปสู่การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ตกมายาวนานในศตวรรษที่ 21 นี้ได้

?สิ่งที่ดึงดูดใจในการศึกษา E8 คือความซับซ้อนของสมมาตรเท่าที่จะมีได้ และนักคณิตศาสตร์สามารถที่จะแสดงตัวอย่างที่ยากกว่าตัวอย่างที่คุณเห็นอยู่ขณะนี้ได้ แต่สำหรับลี กรุปแล้ว E8 คือตัวอย่างที่ยากที่สุด? คำกล่าวขณะบรรยายเรื่องตารางคุณลักษณะ E8 ในหัวข้อ ?จะเขียนเมตริกซ์ 453,060 x 453,060 อย่างไรแล้วพบสุข? ของ ศ.เดวิด โวแกน (Prof. David Vogan) จากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเสตต์ (Massachusetts Institute of Technology: MIT) หรือเอ็มไอที ซึ่งเป็นหนึ่งคณะนักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเรื่องนี้

?E8 ปรากฏอยู่มากมายในบทคัดย่อทางคณิตศาสตร์ และมันก็เป็นเรื่องสนุกที่จะพยายามหาทางแปลความหมายจากงานของเราที่ปรากฏ ความเป็นหนึ่งเดียวของ E8 ช่วยให้เรามีความหวังว่าอาจจะมีกฎที่อธิบายทฤษฎีทางฟิสิกส์ได้เป็นอย่างดี? ศ.โวแกนกล่าว

แนวคิดในการวางแผนที่โครงสร้างของ E8 คือออกแบบและแปลผลการคำนวณซึ่งใช้การทำงานของทีมนักคณิตศาสตร์ 18 คนเป็นเวลา 4 ปี การคำนวณขั้นสุดท้ายใช้เวลามากกว่า 3 วันเพื่อประมวลผลด้วยเครื่องซูเปอร์คอมพิวเตอร์ ?ซาจ? (Sage) ผลที่ได้ออกมาคือเมตริกซ์ของจำนวนที่เชื่อมโยงกัน ซึ่งเป็นคำอธิบายโครงสร้างของ E8 ข้อมูลที่ได้ออกมานี้มีมากกว่าข้อมูลจากการทำแผนที่พันธุกรรมมนุษย์ (Human Genome Project)ถึง 60 เท่า ทั้งนี้ 205,263,363,600 เมตริกซ์ที่ป้อนให้ซูเปอร์คำนวณมีความซับซ้อนมากกว่าจำนวนจริงทั่วๆ ไปชนิดไกลกันสุดกู่ และบางข้อมูลก็เป็นสมการเชิงซ้อน

ทางด้าน ศ.ปีเตอร์ ซาร์แนก (Prof.Peter Sarnak) จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (Princeton University) สหรัฐฯ แม้ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของงานวิจัยนี้ แต่ก็แสดงความเห็นว่า E8 คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่น่าตื่นเต้น เพราะผลลัพธ์ที่ได้จะช่วยสนับสนุนวิทยาศาสตร์สาขาอื่นๆ จำนวนมาก อาทิ พีชคณิต เรขาคณิต ทฤษฎีจำนวน ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เป็นต้น ซึ่งงานวิจัยนี้ไม่อาจประเมินค่าได้สำหรับนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาสาสตร์ในอนาคต

?ขณะที่นักคณิตศาสตร์ได้รับรู้มานานแล้วเกี่ยวกับความสวยงามและความเป็นหนึ่งเดียวของ E8 เราเหล่านักฟิสิกส์เพิ่งได้เห็นในคุณค่าของในกฎที่มีความพิเศษนี้ได้ไม่นาน และในความพยายามของเราที่จะรวมแรงโน้มถ่วงเข้ากับแรงพื้นฐานอื่นๆ เป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงควอนตัม (Quantum gravity) ซึ่งตอนนี้เราก็เกือบจะเผชิญกับทางเลี้ยวนั้นทุกทีแล้ว? ความเห็นของ เฮอร์มันน์ นิโคไล (Hermann Nicolai) ผู้อำนวยการสถาบันแมกซ์ พลังก์สำหรับฟิสิกส์ความโน้มถ่วง (Max Planck Institute for Gravitational Physics) หรือสถาบันอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein Institute) ในเยอรมนี

?แม้ว่าการทำงานเกี่ยวกับ E8 อาจจะไม่ใช่ความก้าวหน้าที่ยิ่งใหญ่สำหรับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่งานนี้อาจจะช่วยนักฟิสิกส์ค้นคำตอบของทฤษฎีเอกภาพ (unified theory) (หรือทฤษฎีสรรพสิ่ง-theory of everything) ได้? นิโคไลกล่าว

[passer-by]

ขอบคุณ สำหรับทุก links ครับ

สำหรับเรื่อง Lie group กับ Representation theory ผมเคยแต่ได้ยินชื่อ ตั้งแต่สมัยที่มี Prof. ชาวจีนท่านนึงมาบรรยายที่มหาวิทยาลัย สมัย ป.ตรีน่ะครับ แต่ตอนนั้นก็ยังงงๆอยู่ จนมาได้เห็นข่าวที่ว่า ก็เลยสนใจขึ้นมานิดๆ

links ที่่ให้มา ก็ช่วยในระดับหนึ่งครับ แต่ในส่วน detail ทาง Maths เกี่ยวกับ E8 ผมอาจจะต้องไปค้นอีกเยอะมากครับถึงจะ clear เพราะผมไม่ไ่ด้ยุ่งเกี่ยวกับด้าน Representation theory เลย

แต่เท่าที่ดูคร่า่วๆ ที่บอกว่า ช่วยใน physics ผมคาดว่า น่าจะหมายถึง ช่วยในการศึกษา particle physics มั้งครับ เพราะเห็็้นมีแนวคิด symmetry ด้วย เช่่น อาจไว้ศึกษาพวกอนุภาคชื่อแปลกๆ อย่าง quark , gluon, antimatter etc.

[nooonuii]

ผมก็ไม่ค่อยได้คลุกคลีทางด้านนี้มากนักครับ เพราะเป็นสาขาที่ต้องใช้ความรู้หลายอย่างผสมกันทั้ง Algebra, Functional Analysis และ Topology(Manifold Theory) เท่าที่ผมรู้พอสรุปได้คร่าวๆดังนี้ครับ

Lie group เป็น group ที่มีคุณสมบัติของ manifold ไปด้วยพร้อมๆกัน(คือสามารถนิยามวิชาแคลคูลัสบนเซตนี้ได้)
Lie group ที่สำคัญคือ Matrix Lie group ซึ่งก็คือเซตของ matrix ชนิดต่างๆที่ให้โครงสร้างของ group เช่น GL(n)=group of invertible nxn (real or complex) matrices, SL(n)= group of nxn matrices whose determinant is 1, O(n)=group of orthogonal nxn matrices เป็นต้น

บทบาทที่สำคัญของ Lie group ก็คือนำไปใช้ใน Quantum Theory ผมก็ไม่รู้ละเอียด แต่เหมือนเคยได้ยินว่าเอาไปใช้เป็น model ของ quark อะไรพวกนี้ครับ
ก็เลยเชื่อมโยงกับวิชาฟิสิกส์ค่อนข้างเยอะ ในเมืองไทยเท่าที่ผมทราบคงมีแค่ ผศ.ดร.วิชาญ ลิ่วกีรติยุตกุล จากจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยที่สนใจทางด้านนี้อยู่ครับ

ส่วน E8 เท่าที่ดูมันก็คือ Matrix Lie group ที่มีขนาดมหึมาซึ่งนักคณิตศาสตร์พยายามที่จะใช้ Group Representation มาอธิบาย Group Structure ของมันครับ มั่วได้แค่นี้คร้าบบบบ

[nooonuii]

ไม่รู้ว่าคุณ passer-by ยังสนใจเรื่องนี้อยู่รึเปล่า วันนี้ผมเพิ่งได้อ่านบทความเกี่ยวกับ $E_8$ และ Atlas project ซึ่งเขียนโดยไม่ใช้คณิตศาสตร์มากนัก สามารถเข้าไปอ่านได้ที่นี่ครับ

The Character Table of E_8

[passer-by]

Thank you Khun nooonuii

After reading that feature, I feel that it's still hard for me krab (maybe because I'm not specialist in this field). But it's good to know this electronics maths magazine from AMS . I never notice this e-magazine before.

Now I have chance to talk to new friend. He is Thai engineer and also interested in new mathematical methods (such as numerical algo. with complex variable). Sorry that I forget the name of this method, but it's interesting for me.

[nooonuii]

เพิ่งได้รับอีเมลจากทางภาควิชาครับว่า Professor Jeffrey Adams (Department of Mathematics, University of Maryland@College Park) หัวหน้าโครงการ E8 Group ได้รับการเสนอชื่อให้รับรางวัลอะไรซักอย่างของมหาลัยซึ่งผมก็ไม่รู้จักเหมือนกันว่ารางวัลนี้เป็นอย่างไร แต่ประเด็นสำคัญก็คือว่าเนื้อความในจดหมายฉบับนี้ได้กล่าวถึง E8 Group ไว้ด้วย ก็เลยเอามาให้อ่านกัน

----------------------------------------------------------------------------------

I am delighted to report that the Department has nominated Jeff Adams for the campus's prestigious Kirwan Award. Some comments of J. Brian Conrey (Executive Director of the American Institute of Mathematics) are worth repeating:

"I was recently told by the Director of the National Science Foundation's Division of Mathematical Sciences that they had selected the mapping E8 as their most significant work of 2007 in their annual report to NSF. Professor Adams is the leader of that project.

The E8 project was the subject of a vast amount of attention in 2007 and rightly so. The breakthrough was covered by more than 1000 newspapers worldwide, including Le Monde, The New York Times, and the London Times, and was announced on more than 200 televised news shows, including "Good Morning America" and was featured on
NPR's "All Things Considered." Some of the reasons that this story captured the world's imagination were the size of the team involved (18 mathematicians don't normally work together), the unimaginable size of the object under study and the data-set that represented the solution ("A math solution the size of Manhattan" ) , the beautiful symmetry of the object under question (E8 is a 248 dimensional set which describes the rotational symmetries of a 57 dimensional object,
and is the largest of all the exceptional Lie Groups): the fact that humans are able to comprehend a small part of this enormous, mysterious group is fascinating. In addition, the connection with
physics and string theory (one of the five possible realizations of our universe that string theorists have identified is based on the action of E8) were also compelling. Nature recognized the E8 work as one of the most significant accomplishments of the year, and Discover magazine also listed it in their top 100 achievements of the year (number
47)."

James Yorke,
Chair of Mathematics
Distinguished University Professor of Mathematics and Physics
University of Maryland

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

I am delighted to report that the Department has nominated Jeff Adams for the campus's prestigious Kirwan Award. Some comments of J. Brian Conrey (Executive Director of the American Institute of Mathematics) are worth repeating:

"I was recently told by the Director of the National Science Foundation's Division of Mathematical Sciences that they had selected the mapping E8 as their most significant work of 2007 in their annual report to NSF. Professor Adams is the leader of that project.

The E8 project was the subject of a vast amount of attention in 2007 and rightly so. The breakthrough was covered by more than 1000 newspapers worldwide, including Le Monde, The New York Times, and the London Times, and was announced on more than 200 televised news shows, including "Good Morning America" and was featured on
NPR's "All Things Considered." Some of the reasons that this story captured the world's imagination were the size of the team involved (18 mathematicians don't normally work together), the unimaginable size of the object under study and the data-set that represented the solution ("A math solution the size of Manhattan" ) , the beautiful symmetry of the object under question (E8 is a 248 dimensional set which describes the rotational symmetries of a 57 dimensional object,
and is the largest of all the exceptional Lie Groups): the fact that humans are able to comprehend a small part of this enormous, mysterious group is fascinating. In addition, the connection with
physics and string theory (one of the five possible realizations of our universe that string theorists have identified is based on the action of E8) were also compelling. Nature recognized the E8 work as one of the most significant accomplishments of the year, and Discover magazine also listed it in their top 100 achievements of the year (number
47)."

James Yorke,
Chair of Mathematics
Distinguished University Professor of Mathematics and Physics
University of Maryland

ยินดีกับ professor ด้วยครับ

ผมคิดว่าน่าจะเป็นข่าว Maths ที่(เกือบจะ)ดังที่สุดของปี 2007 แล้วล่ะครับ แต่เจอข่าวใน link ข้างล่างเฉือนเอาชนะไปซะก่อน ในอันดับที่ 38 ของ Discover Magazine
TOP SCIENCE STORIES