ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 3: Infinite Products

[warut]

จงพิสูจน์ว่า\[\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)=
\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2\]ป.ล. ตอนที่ผมพบเอกลักษณ์อันนี้นี่ตื่นเต้นมากครับ เพราะรู้สึกว่ามันสวยจริงๆ ตั้งใจว่าจะส่งไปลงเป็นโจทย์ในวารสารก็ยังไม่ได้ทำซักที เอามาลงที่นี่ก่อนคงไม่เป็นไรนะ

[Punk]

คราวนี้ต้องเอาให้ได้

แยกตัวประกอบวงเล็บทางซ้ายมือ ได้
$$
1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}=\frac{(n^2-n+1)(n^2+n+1)}{n^4}
$$
และวงเล็บทางขวามือได้
$$
\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2=\frac{(n+1)^2(n^2-n+1)^2}{n^6}
$$
เอกลักษณ์ที่ต้องการสมมูลกับ
$$
\prod_n\frac{n^6}{n^4(n+1)^2}=\prod_n\frac{n^2-n+1}{n^2+n+1}
$$
ซึ่งเป็นจริงเพราะว่าผลคูณทางซ้ายเท่ากับ 1 และผลคูณทางขวาเท่ากับ 1 เช่นกัน (เอกลักษณ์สำคัญที่ใช้คือ
$$
(n+1)^2-(n+1)+1=n^2+n+1)
$$
จะได้มั้ยเนี่ย

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Punk:
...
เอกลักษณ์ที่ต้องการสมมูลกับ
$$
\prod_n\frac{n^6}{n^4(n+1)^2}=\prod_n\frac{n^2-n+1}{n^2+n+1}
$$
ซึ่งเป็นจริงเพราะว่าผลคูณทางซ้ายเท่ากับ 1...

คิดว่าไม่น่าใช่นะครับ เพราะ $n^6<n^4(n+1)^2$ และ $n^2-n+1<n^2+n+1$ เสมอสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ซึ่งทำให้ทั้งสองข้างของสมการนี้เป็นผลคูณของเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง ซึ่งผลคูณนี้ลู่เข้าแน่ๆ แต่ไม่ลู่เข้าหาหนึ่ง (หากผมเข้าใจผิดช่วยอธิบายเพิ่มด้วยครับ)

[Punk]

จริงด้วย ต้องเป็นศูนย์สนิทครับไม่ใช่หนึ่ง ขอบคุณมากๆครับคุณ nongtum

ขออนุญาติเขียนเรียบๆใหม่นะครับ (จะได้คะแนนเต็ม ) พิสูจน์ข้างบนยังไม่ดีพอ

จากที่ผมทำถ้าผมให้
$$
a_n:=\prod_k\frac{k^6}{k^4(k+1)^2}=\left(\frac{1}{2}\frac{2}{3}\cdots\frac{n}{n+1}\right)^2=\frac{1}{(n+1)^2}
$$
และให้ลำดับผลคูณย่อยขวามือเรียกว่า
$$
b_n:=\prod_k\frac{k^2-k+1}{k^2+k+1}=\frac{1}{n^2+n+1}
$$
เอกลักษณ์ที่เราต้องการจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเราต้องได้ว่า
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1
$$
ซึ่งเป็นจริงโดยไม่มีข้อโต้แย้ง

[R-Tummykung de Lamar]

โห นึกไม่ถึงเลยครับ เอกลักษณ์นี้

$\displaystyle{(n+1)^2-(n+1)+1=n^2+n+1}$

(ทั้งที่การพิสูจน์นั้นง่ายมาก แต่ให้ประโยชน์จริงๆ)

ข้าน้อยขอคารวะ

[M@gpie]

ยอดเลยครับ ผมพยายามจัดรุปให้เหมือนกัน อยู่นานทีเดียว แต่ไม่เป็นผลสำเร็จ
เพิ่งทราบว่ามีวิธีทดสอบแบบนี้ด้วยเหมือนกัน เป็นความรู้ทีเดียวครับ

[warut]

ไม่รู้เป็นเพราะผมไป hint ไว้ที่ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 5 รึเปล่าว่าข้อนี้ไม่ยาก คุณ Punk เลยหันกลับมาสอยข้อนี้อย่างรวดเร็ว หวังว่าคนอื่นๆคงไม่เสียขวัญเลิกเล่นไปซะก่อนเพราะการมาเยือนของเทพองค์นี้นะครับ

ครับสำหรับการตอบข้อ 5 นี้ ผมคงไม่มีทางเลือกอื่นเพราะคุณ Punk เขียนไว้แล้วว่า "ซึ่งเป็นจริงโดยไม่มีข้อโต้แย้ง" ดังนั้นคุณ Punk จึงรับไปเต็มๆ 5 คะแนนครับ (เขินเหมือนกันนะเนี่ยที่ต้องให้คะแนนเทพ)

อ้อ...แต่ว่าถ้าเป็นผม ผมจะใช้สัญลักษณ์\[\prod_{k=1}^n\]มากกว่าที่จะใช้\[\prod_k\]ซึ่งไม่ค่อยเคลียร์นักอะครับ

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:

คิดว่าไม่น่าใช่นะครับ เพราะ $n^6<n^4(n+1)^2$ และ $n^2-n+1<n^2+n+1$ เสมอสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ซึ่งทำให้ทั้งสองข้างของสมการนี้เป็นผลคูณของเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง ซึ่งผลคูณนี้ลู่เข้าแน่ๆ แต่ไม่ลู่เข้าหาหนึ่ง (หากผมเข้าใจผิดช่วยอธิบายเพิ่มด้วยครับ)

ในกรณีของ infinite product ลักษณะแบบนี้จะเรียกว่า "diverge to 0" ครับ

ใครมีอะไรจะเพิ่มเติมอีกมั้ยครับข้อนี้

[Punk]

เทพเทอบอะไรกันครับ ... ไม่ใช่สุเทพเอ้ยไม่ใช่ แค่อยากช่วยให้กระทู้เดินไปได้นะครับ

แหมข้อนี้กว่าจะคิดได้ผมต้องเสีย(ทรัพยากร)กระดาษไปตั้งหลายสิบแผ่นเลยทีเดียว ก่อนหน้านี้เห็นแล้วไม่กล้าลองครับ เพราะได้ยินว่าคุณ warut จะเอาไปลงวารสารต่างประเทศ

หลังจากผิดหวังอย่างแรงจากข้อ Number เลยหันมาจับข้อนี้แทนนะครับ ก็อย่างที่เทพตัวจริงบอกแหละครับ ข้อนี้น่าจะสอยได้มากกว่า

ถ้ามีโจทย์สวยๆแบบนี้อีกผมก็จะลองทำแน่นอนครับ

[warut]

สำหรับข้อนี้วิธีของผมอาศัยความจริงง่ายๆที่ว่า\[\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=
\frac{1}{2}\]และ\[\prod_{n=2}^\infty\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2}{3}\]ซึ่งมักนำมาใช้ออกข้อสอบแข่งขันอยู่เสมอๆ อย่างเช่นในข้อ 1 ของโจทย์แข่งขันชิงถ้วยพระราชทานฯ ม.ปลาย ปี 48

ดังนั้น\[\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)=
3\prod_{n=2}^\infty\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)\]\[\large=3
\frac{\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{n^6}\right)}{\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}
\]\[=6\prod_{n=2}^\infty\left(\frac{n^3-1}{n^3+1}\right)\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2
\]\[=4\prod_{n=2}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2=
\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^2\]สำหรับข้อนี้ผมมีคะแนนพิเศษอีก 2 คะแนนสำหรับผู้ที่ค้นมาได้ว่าค่าของ\[\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\]จริงๆแล้วมันเท่ากับเท่าไหร่ครับ

[nongtum]

อ้างอิงจาก Mathworld จะได้ค่าที่คุณ warut ถามคือ $$\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n^3})=\frac{1}{\pi}\cosh(\frac{\pi\sqrt{3}}{2})$$ เมื่อ cosh(x) แทน hyperbolic cosine ของ x (รายละเอียดเพิ่มเติมอ่านได้จากลิงค์ครับ)

[warut]

จ๊าก...ทำไมหาได้เร็วจัง คุณ nongtum รับไปอีก 2 คะแนนตามสัญญาครับ