|.ต้องการแนวคิดครับ.|

[Tony]

1. สนามเด็กเล่นมีขอบเขตเป็นรูปสามเหลี่ยม มีเสาสปอตไลท์ ที่มีลักษณะเหมือนกันทุกประการ (เสาสูงเท่ากันและเมื่อเปิดสปอตไลท์ จะพบว่าสปอตไลท์ทั้งสามส่องแสงลงบนพื้นครอบคลุมบริเวณภายในวงกลมขนาดเท่ากัน)ตั้งอยู่ที่จุดยอดมุม จุดละหนึ่งต้น คืนหนึ่ง ด.ช.พิเรนทร์ ได้แอบย้ายเสาสปอตไลท์ ไปตั้งไว้ที่ขอบสนามแต่ละด้าน ด้านละหนึ่งต้น และทดลองเปิดสปอตไลท์ พบว่าขอบเขตอาณาบริเวณรูปวงกลมที่สปอตไลท์ทั้งสามส่องไป
ถึง พบกันที่จุดจุดหนึ่งพอดี และเมื่อย้ายเสาสปอตไลท์ต้นหนึ่งไปปักไว้ที่จุดนั้น พบว่าแสงจาก สปอตไลท์ต้นนี้ยังคงส่องอยู่เฉพาะภายในสนามเด็กเล่นโดยไม่ส่องล้ำออกไปภายนอกเลย
จงหาว่าจุดภายในสนามเด็กเล่นดังกล่าว เป็นจุดจวบชนิดใดของรูปสามเหลี่ยม

[gon]

ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ เรื่องเรขาคณิตนี่ใบ้รับประทานเลย

จากการทดลองวาดรูปโดยวงเวียนดู
จะพบว่าจุดดังกล่าวจะมีระยะห่างไปยังเสาไฟทั้งสามที่ย้ายมาเท่า ๆ กัน

ดังนั้นจุดดังกล่าวสมควรเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยมรูปนั้น

[Tony]

2. ให้ \( A=\{1,2,3,...,n\},\ (n\geq 5) \)
\( S_{n}=\{f|f:A\rightarrow A\} \) (เป็นฟังก์ชัน 1ต่อ1)
\( I_{n}=\{(x,x)|x\in A\} \)
จงพิสูจน์ว่า
2.1 \( f\circ g\in S_{n} \) ทุกๆ \( f,g\in S_{n} \)
2.2 ทุกๆ \( f\in S_{n} \) จะมี \( g\in S_{n} \) ที่ทำให้ \( f\circ g\in I_{n} \)
2.3 ให้ \( X=\{f\in S_{n}|f\circ f=I_{n}\} \) จงหา |X|

[nongtum]

2.1 Trivial เพราะ \(|A|<\infty\ \Rightarrow\ f,g\in{}S_n\) เป็น bijection
2.2 ให้ f=p(x) เป็น permutation บน A จะได้ g=p^-1 ซึ่งทำให้ \(f\circ{}g=id\in{}I_n\)
2.3 (ไม่ชัวร์นะครับ) \(|\{f\in S_{n}|f\circ f=id\}|=|\{f\in S_{n}|f=f^{-1}\}|\) จาก 2.2 จะได้ว่า x=p(x) นั่นคือ |X|=1

[Tony]

อย่างข้อ 2.3
ถ้าให้ \( A=\{1,2,3,4\} \)
จะมี
f₁={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
f₂={(1,1),(2,2),(3,4),(4,3)}
f₃={(1,1),(2,4),(3,3),(4,2)}
f₄={(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}
f₅={(1,4),(2,2),(3,3),(4,1)}
f₆={(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)}
f₇={(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}
f₈={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}
f₉={(1,3),(2,4),(3,1),(4,2)}
f₁₀={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
ที่ทำให้ \( f\circ f\in I_{n} \)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 2.3 นะครับ

ผมขอเริ่มดูที่ \(\ S_7\ \) ละกัน จะได้ดูง่ายๆ
การที่ composite แล้วจะได้ Identity นั้น มี 2 กรณีคือ
1.) เลือก ตัวเอง
2.) เลือกตัวอื่น แล้วตัวอื่นมาเลือกตัวนั้น (จับคู่สลับกันเลือก)

นั่นคือ สมมติเรามี \(\ S_7\ \) อยู่ ก็แบ่งกลุ่มดังนี้
ไม่จับเลย???????(1111111)
จับ 1 คู่ ????????(11)(11111)
จับ 2 คู่ ????????(11)(11)(111)
จับ 3 คู่ ????????(11)(11)(11)(1)
ปล. ตัวหนาคือเลือกจับตัวเองนะครับ

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

(\( i\)) ไม่จับเลย
ก็ ง่ายๆคือ \[ 1 \] วิธีครับ
----------------------------------------------------------------
(\( ii\)) จับ 1 คู่
มีอยู่ 7 เลือก 2 คือ \[ {7 \choose 2} \]
----------------------------------------------------------------
(\( iii\)) จับ 2 คู่
มีอยู่ 7 เลือก 2 คู่คือ \( {7 \choose 2}{5 \choose 2} \)
แต่ในขณะที่ 2 กลุ่มนั้น (ที่มีจำนวนเท่ากันคือ 2) สลับกัน ไม่ทำให้เกิดกลุ่มใหม่ ก็เลยต้องหารด้วย 2! เป็น
\[ \frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2} }{2!} \]
----------------------------------------------------------------
(\( iiii\)) จับ 3 คู่
มีอยู่ 7 เลือก 3 คู่คือ \( {7 \choose 2}{5 \choose 2}{3 \choose 2} \)
แต่ในขณะที่ 3 กลุ่มนั้น (ที่มีจำนวนเท่ากันคือ 2) สลับกัน ไม่ทำให้เกิดกลุ่มใหม่ ก็เลยต้องหารด้วย 3! เป็น
\[ \frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2}{3 \choose 2} }{3!} \]
----------------------------------------------------------------

ดังนั้น จำนวน ฟังก์ชันที่ composite กันแล้วได้ Identity ของ \(\ S_7\ \)คือ
\[ 1+\frac{{7 \choose 2}}{1!} +\frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2} }{2!}+\frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2}{3 \choose 2} }{3!}=\ 337 \]

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

ขยายไปสู่รูปทั่วไปคือ
จำนวน ฟังก์ชันที่ composite กันแล้วได้ Identity ของ \(\ S_n\ \)คือ
\[ \LARGE \sum_{k=1}^{ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \frac{\Pi_{j=1}^k {n-2j+2 \choose 2}}{j!}+1 \]

ดูยุ่งยากมากๆ ไม่ทราบว่าสามารถลดทอนอะไรได้บ้าง
ลองเช็คกับ \(\ S_4\ \) ดูนะครับ
\[ \sum_{k=1}^{2} \frac{\Pi_{j=1}^k {4-2j \choose 2}}{j!}+1\ =\ 6+3+1\ =\ 10 \]

[warut]

ที่น้อง R-Tummykung de Lamar เขียนมาเยี่ยมมากครับ แต่ผมมีความเห็นเพิ่มเติมดังนี้

1. ผลลัพธ์ในกรณี S₇ คือ 232 ไม่ใช่ 337
2. ตรง j! ในสูตร ที่ถูกต้องเป็น k!
3. สูตรยังยุบต่อได้ อย่างเช่นลองสังเกตว่า\[{7\choose2}{5\choose2}{3\choose2}=
\frac{7!}{2!\,5!}\cdot\frac{5!}{2!\,3!}\cdot\frac{3!}{2!\,1!}=
\frac{7!}{2^3}\]ซึ่งหลังจากยุบแล้วควรจะได้อะไรคล้ายๆแบบนี้\[
\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n!}{2^kk!(n-2k)!}\]
4. ลองอ่านเรื่อง Permutation Involution เพิ่มเติมดูนะครับ

[R-Tummykung de Lamar]

อืม ขอบคุณพี่ warut มากเลยยครับ

สำหรับข้อ 1 ผมเห็นด้วยกับพี่ gon ครับ ว่าเป็นจุด Incenter
เยื่องจาก ระยะห่างจุดตัดของสปอตไลท์กับด้าน ด้านหนึ่ง เท่ากับ
ระยะห่างระหว่างสปอตไลท์กับด้านด้านนั้น (เข้าใจไหมเนี่ย )

แต่มันไม่ล้นออกนอกกรอบ แสดงว่าต้องสัมผัสกับด้าน ด้านนั้น
สรุปแล้วมันคือจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม หรือ (Incenter : I)นั่นเอง

[Tony]

ขอบคุณสำหรับทุกๆ แนวคิด กับ link ครับ

แต่ช่วยอธิบายข้อ 2.1 กับ 2.2 ด้วยครับ ไม่เข้าใจเลย