2011 Primary Math World Contest Tryouts Problems

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

15.มีสามเหลี่ยมทั้งหมดกี่รูปในภาพนี้



ตอนที่ 4....ข้อ16-20 ข้อละ 4 คะแนน

แบบประถม คงต้องนับสามเหลี่ยมเอา

นับได้ 48 รูป ไม่รู้ครบหรือเปล่า

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อนี้นึกไม่ออกจะอธิบายให้เด็กประถมปลายที่ยังไม่ได้เรียนเรื่องความน่าจะเป็นยังไง เพราะหลักสูตรปกติเรียนตอนม.3 และถ้าจะสอนให้เขียนแผนภาพต้นไม้ รับรองเด็กเลิกทำก่อนแน่ๆ เพราะจะเขียนได้ต้อง $2^8$ ชุด....ตั้ง $256$ แบบ มือหงิกไปก่อน
.
.

ใครนึกวิธีอธิบายง่ายๆให้เด็กได้ ช่วยแชร์วิธีหน่อยครับ ผมตันเรื่องอธิบายจริงๆ

ผมก็ยังนึกไม่ออกเหมือนกัน


แต่ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็นแบบนี้ จะยังเหมือนเดิมไหม

มีข้อสอบ 8 ข้อ เป็นแบบ มีchoice แค่ ก. ข. ถ้าสุ่มกามั่วๆ จงหาความน่าจะเป็นที่จะตอบถูกต้องอย่างน้อย 4 ข้อ

แล้วจะอธิบายเด็กยังไง

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

20.ต้องการทาสีรูปหกเหลี่ยมในแผนภาพนี้ด้วยสีแดง,เขียวและน้ำเงิน โดยไม่ให้มีรูปหกเหลี่ยมที่ติดกันสองรูประบายด้วยสีเดียวกัน จงหาว่าจะระบายสีได้ทั้งหมดกี่วิธี

ข้อนี้ก็ยังคิดไม่ออก แต่มองๆแล้วถ้าม้วนๆ มันจะเหมือนลูกบอลไหม ?

และข้อสงสัย สีขาวที่ไม่ทานับเป็นหนึ่งสีไหม (รวมเป็นสี่สี)


แทงหวย 4! 5! 2!= 5760 วิธี

[กิตติ]

ถ้าไม่รบกวน หลายๆท่านในบอร์ด บางข้อที่พอจะทอนความยากในการอธิบายลงได้ พอจะแนะอะไรให้หนูๆน้องๆหลานๆได้บ้าง เพื่อวิธีคิดที่เข้าใจง่ายๆ แต่บางข้อมันจำเป็นต้องใช้ความรู้เกินระดับก็ต้องพอโอเค อย่างข้อหาเลขหลักหน่วย ขืนใช้modจริง เด็กๆงง หรือเด็กไม่งง ผู้ใหญ่อย่างผมงง

[PoomVios45]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เรียกลุง เรียกน้าไม่เป็นไร อย่าเรียกป้าก็แล้วกัน



ลูกคนโตผมก็รุ่นหลังคุณกิตติ 4 -5 ปี ศิริราช 107 ตอนนี้ก็เป็น fellow infertile จบปีหน้าแล้ว

ส่วนคนรอง ศิริราช 116 เพิ่งรับปริญญาไปเมื่อต้นเดือนนี้

จะเรียกลุงเรียกปู่ ก็ไม่ว่ากัน ตอนนี้ก็ว่างๆ ทำเลขเล่นสนุกๆไปวันๆ (ไม่ทำอะไรเดี๋ยวสมองฝ่อ)

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อนี้ก็ยังคิดไม่ออก แต่มองๆแล้วถ้าม้วนๆ มันจะเหมือนลูกบอลไหม ?

และข้อสงสัย สีขาวที่ไม่ทานับเป็นหนึ่งสีไหม (รวมเป็นสี่สี)

แทงหวย 4! 5! 2!= 5760 วิธี

ถ้ามีแค่ 3 สี คือ แดง, เขียว และน้ำเงิน และต้องทาสีทุกรูป (สิีเดียวกันไม่อยู่ติดกัน) จะมีเพียง 6 วิธี ครับ

ผมใช้วิธี เขียนอักษร A,B,C ลงในรูปหกเหลี่ยมทุกรูป โดยที่อักษรเดียวกันไม่อยู่ติดกัน เป็น 1 รูปแบบ
แล้วเลือกสีมาทาที่ A ได้ 3 วิธี, และนำสีที่เหลือมาทาที่ B ได้ 2 วิธี = 3x2 = 6 วิธี

หรือเรียงสีใน A,B,C = (ด,ข,นง) (ด,นง,ข) (ข,ด,นง) (ข,นง,ด) (นง,ด,ข) (นง,ข,ด) มี 6 วิธี

[banker]

เขียนรูปตามแบบคุณPuriwatt แนะนำ

ตรงตำแหน่งสีแดง วางได้ 3 แบบ

แต่ละแบบ สามารถสลับซ้ายขวาได้อีก 2 วิธี

จึงมี 6 วิธี

[กิตติ]

จบการเฉลยเพราะเฉลยครบและเป็นไปตามพวยเฉลยที่แจกมากับปัญหา

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ถ้าไม่รบกวน หลายๆท่านในบอร์ด บางข้อที่พอจะทอนความยากในการอธิบายลงได้ พอจะแนะอะไรให้หนูๆน้องๆหลานๆได้บ้าง เพื่อวิธีคิดที่เข้าใจง่ายๆ แต่บางข้อมันจำเป็นต้องใช้ความรู้เกินระดับก็ต้องพอโอเค อย่างข้อหาเลขหลักหน่วย ขืนใช้modจริง เด็กๆงง หรือเด็กไม่งง ผู้ใหญ่อย่างผมงง

ผมว่าเด็กสมัยนี้ เก่งขนาดนี้น่าจะรู้แล้วล่ะครับ

[banker]

อย่าเพิ่งจบครับ ติวหลานแล้วโดนแย้ง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

8.*** มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากี่รูปในรูปนี้

ข้อนี้ที่เฉลยว่ามี 75 รูป หมายถึงมีสี่เหลี่ยมมุมฉาก 75 รูป

ถ้าถามสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็ต้องลบสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกไปด้วย

ทีนี้ในโจทย์ก็ไม่ได้ระบุว่า ช่องสี่เหลี่ยมเล็กๆนั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกรูปซะด้วย

ครั้นจะดูจากรูป บางอันก็เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส บางอันก็เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ทำให้ยากต่อการหา


ผมสรุปว่า โจทย์ข้อนี้ไม่สมบูรณ์ คือขาดคำว่า "ช่องสี่เหลี่ยมเล็กๆนั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกรูป"

และ คำถาม ต้องถามว่า มีสี่เหลี่ยมมุมฉากกี่รูป ไม่ใช่ถามว่ามีสี่เหลี่ยมผืนผ้ากี่รูป


ท่านอื่นมีความเห็นอย่างไรบ้างครับ

[Amankris]

#40
สี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็น สี่เหลี่ยมผืนผ้า นะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#40
สี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็น สี่เหลี่ยมผืนผ้า นะครับ

เท่าที่ผมเข้าใจ
สี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็น subset ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก

สี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็เป็น subset ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก

สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านติดกัน ยาวเท่ากัน

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านติดกัน ยาวไม่เท่ากัน

[Amankris]

#42
ต้องไปดูต้นฉบับครับ

โดยปกติแล้ว คำถามจะใช้คำว่า "Rectangle" ซึ่งแปลว่า สี่เหลี่ยมมุมฉาก


ส่วนคำว่า "Oblong" แปลว่า สี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่ไม่ใช่ "Square"

ซึ่งคำว่า "Oblong" นี้ ไม่ค่อยใช้กันในแวดวงแข่งขันเท่าไรครับ

[กิตติ]

ข้อนี้เป็นความผิดพลาดของผมซึ่งแปลคำว่า "Rectangle" ว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถ้าแปลตามคุณAmankrisถึงจะถูกต้อง

8. How many rectangles can you find from this diagram?

ในโอกาสหน้าจะแนบตัวคำถามภาษาอังกฤษไว้ด้วยแล้วกันเผื่อมีปัญหาแบบนี้อีก

ขอบคุณทุกท่านที่เข้ามาร่วมเฉลยและร่วมให้ความเห็น

[กิตติ]

เพิ่งคิดวิธีทำข้อนี้แบบไม่ต้องใช้ mod

19. จงหาตัวเลขหลักหน่วยของ $7^{7^{7^7}}$

มาดูวนรอบของเลขหลักหน่วยของ $7^n$
$7^1$ หลักหน่วยคือ $7$
$7^2$ หลักหน่วยคือ $9$
$7^3$ หลักหน่วยคือ $3$
$7^4$ หลักหน่วยคือ $1$
วนรอบละ $4$....ดังนั้นเราเอา $4$ไปหาร $7^{7^7}$ จะดูว่าตกที่ลงท้ายด้วยเลขอะไร

สังเกตว่า $7=4+3$ เศษคือ $3$
$7^2=49=4(12)+1$ เศษคือ $1$
จากนั้นเศษที่ได้จาก$7^n$ ก็ได้จากการสร้างจากสองข้อข้างต้น
$7^3=7\times 7^2$ เศษคือ $3$
$7^4=7^2\times 7^2$ เศษคือ $1$
สังเกตได้อีกว่า เลขยกกำลังเป็นเลขคี่ ได้เศษคือ $3$ และ เลขยกกำลังเป็นเลขคู่ ได้เศษคือ$1$

ดังนั้นหาให้ได้ว่า $7^7$ เป็นเลขคู่หรือคี่ จากข้างต้นที่เราหาวนรอบ เห็นว่าเลขท้ายคือ $7,9,3,1$ ยังไงก็เป็นเลขคี่
จะได้ว่า $4$ไปหาร $7^{7^7}$ จะวนตกมาที่เศษ $3$
$7^3$ หลักหน่วยคือ $3$
ดังนั้นได้คำตอบแล้วว่า ตัวเลขหลักหน่วยของ $7^{7^{7^7}}$ คือเลข $3$