โจทย์ Combinatorics เตรียมอุดมศึกษา....ช่วยหน่อยนะครับ

[HIGG BOZON]

ผมรู้สึกปวดหัวกับการนับจำนวนวิธีเกี่ยวกับการสับเปลี่ยนเชิงวงกลมมากเลยครับ คือมองภาพไม่แตกฉานอ้ะครับ
มีปัญหาดังนี้ครับ
1. มีครู 6 คน นักเรียนชาย 6 คน นักเรียนหญิง 6 คน จงหาจำนวนวิธีในการจัดคนทั้งหมดยืนเป็นวงกลมเมื่อ
1.1 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 1 คน
1.2 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 2 คน
1.3 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 3 คน
1.4 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 6 คน

2. นำลูกเต๋า 2 ลูกมาประกบกัน ภาพที่เห็นจะมีกี่แบบ ถ้า
2.1 ลูกเต๋า 2 ลูกสีต่างกัน
2.2 ลูกเต๋า 2 ลูกไม่ต่างกัน

3. มีลูกแก้วสีแดง 2 ลูก สีเขียว 3 ลูก สีเหลือง 4 ลูก นำมาจัดวางเป็นวงกลมได้กี่แบบ โดยลูกแก้วสีเดียวกันถือว่าเหมือนกัน
(ข้อนี้ผมงงว่าใช้สูตรได้มั้ย เพราะ (2,3,4)=1 แต่ครูที่เตรียมบอกว่าผิด เพราะจะใช้สูตรได้เมื่อห.ร.ม. ของจำนวนทุกคู่ต้องเป็น 1 คือ (2,3)=1 (3,4)=1 แต่ (2,4) ไม่เท่ากับ 1 จึงใช้สูตรไม่ได้ ?????)

วอนเซียน Combi ช่วยหน่อยนะครับ คิดไม่ได้จริงๆ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

ผมรู้สึกปวดหัวกับการนับจำนวนวิธีเกี่ยวกับการสับเปลี่ยนเชิงวงกลมมากเลยครับ คือมองภาพไม่แตกฉานอ้ะครับ
มีปัญหาดังนี้ครับ
1. มีครู 6 คน นักเรียนชาย 6 คน นักเรียนหญิง 6 คน จงหาจำนวนวิธีในการจัดคนทั้งหมดยืนเป็นวงกลมเมื่อ
1.1 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 1 คน
1.2 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 2 คน
1.3 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 3 คน
1.4 คนทั้ง 3 กลุ่มยืนสลับประเภทกันทีละ 6 คน

2. นำลูกเต๋า 2 ลูกมาประกบกัน ภาพที่เห็นจะมีกี่แบบ ถ้า
2.1 ลูกเต๋า 2 ลูกสีต่างกัน
2.2 ลูกเต๋า 2 ลูกไม่ต่างกัน

3. มีลูกแก้วสีแดง 2 ลูก สีเขียว 3 ลูก สีเหลือง 4 ลูก นำมาจัดวางเป็นวงกลมได้กี่แบบ โดยลูกแก้วสีเดียวกันถือว่าเหมือนกัน
(ข้อนี้ผมงงว่าใช้สูตรได้มั้ย เพราะ (2,3,4)=1 แต่ครูที่เตรียมบอกว่าผิด เพราะจะใช้สูตรได้เมื่อห.ร.ม. ของจำนวนทุกคู่ต้องเป็น 1 คือ (2,3)=1 (3,4)=1 แต่ (2,4) ไม่เท่ากับ 1 จึงใช้สูตรไม่ได้ ?????)

วอนเซียน Combi ช่วยหน่อยนะครับ คิดไม่ได้จริงๆ

ข้อ 1. การจัดคนเป็นวงกลมแบบสลับ มีวิธีคิด 2 วิธี วิธีแรกคือนำคนมาแทรก วิธีที่สองคือ จัดเป็นเส้นตรง/จำนวนแบบที่ซ้ำเมื่อจัดเป็นวงกลม ซึ่งผมเคยเขียนอธิบายไว้หลายครั้งในเว็บแล้วครับ เช่นใน รบกวนถามเรื่องการจัดวงกลมครับ

ซึ่งใช้วิธีที่สอง

หรือใน youtube ซึ่งใช้วิธีแรก




นั่นคือสูตรทั่วไปของข้อนี้คือ $\frac{3! 6! 6! 6!}{\frac{18}{r}}$ เมื่อ $r = 1, 2, 3, 6$ จะได้ข้อ 1.1-1.4 ตามลำดับ

ข้อ 2.1

ขั้นที่ 1. เลือกว่าลูกเต๋าสีแรกจะเอาแต้มใดมาประกบ เลือกได้ 6 วิธี

ขั้นที่ 2. เลือกว่าลูกเต๋าสีที่สองจะเอาแต้มใดมาประกบ เลือกได้ 6 วิธี

ขั้นที่ 3. ในแต่ละแบบของการประกบ เราจะหมุนได้ 4 แบบ เช่น สมมติว่าสีของลูกเต๋าทางขวามือด้านบนขึ้นแต้ม 1 จากนั้นพอเราหมุนในทิศทวนเข็ม พอหมุนครบ 4 ครั้ง แต้ม 1 ก็จะวนมาอยู่ข้างบนอีกครั้ง

ดังนั้นจะได้ $6 \times 6 \times 4$ วิธี

ถ้าเป็น 2.2 ก็นำ 2 ไปหาร

ข้อ 3. ห.ร.ม ให้ดูทั้งหมดครับ ไม่ใช่ดูทีละคู่ เช่น ถ้ามี แดง 2 ลูกเหมือนกัน, เขียว 2 ลูก เหมือนกัน และเหลือง 1 ลูก จะจัดเป็นวงกลมได้ $\frac{4!}{2! 2! 1!} = 6$ วิธี

[HIGG BOZON]

เข้าใจแจ่มแจ้งเลยครับ ขอบคุณคุณแฟร์และคุณ gon มากๆเลยครับ