Hard one T_T

[RoSe-JoKer]

$a,b,c\geq 0$
$a^2+b^2+c^2=3$
จงแสดงว่า
$(2-ab)(2-bc)(2-ca)\geq 1$
...ช่วยผมทำหน่อยนะครับ

[Platootod]

โดย AM-GM จะได้
$\sqrt[3]{(abc)^2}\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$
$abc\leqslant 1$
โดย AM-GM
$\sqrt[3]{(abc)}\leqslant \frac{a+b+c}{3}$
$3\sqrt[3]{(abc)}\leqslant a+b+c$
โดย GM-HM
$\frac{3abc}{ab+ac+bc}\leqslant \sqrt[3]{abc}$
$\frac{3abc}{\sqrt[3]{(abc)}}\leqslant ab+bc+ac$
$(2-ab)(2-bc)(2-ca)=8-4(ac+ab+cb)+2(abc)(a+b+c)-(abc)^2$จากการแทน abc=1
=8-(12)+2(1)(3)-1
=1
เราจะเห็นว่า $1\geqslant 1$
$8-4(ac+ab+cb)+2(abc)(a+b+c)-(abc)^2\geqslant 1$
$(2-ab)(2-bc)(2-ca)\geqslant 1$

เราจะเห็นว่า ผมเพิ่งหัดพิสูจน์ผิดพลาดตรงไหนก็บอกด้วยครับ
ผมแก้เป็นแบบนี้ถูกรัยังครับ

[SpammingMan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

โดย AM-GM จะได้
$\sqrt[3]{(abc)^2}\leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$
$abc\leqslant 1$
โดย AM-GM
$\sqrt[3]{(abc)}\leqslant \frac{a+b+c}{3}$
$3\sqrt[3]{(abc)}\leqslant a+b+c$
โดย GM-HM
$\frac{3abc}{ab+ac+bc}\leqslant \sqrt[3]{abc}$
$\frac{3abc}{\sqrt[3]{(abc)}}\leqslant ab+bc+ac$
เราจะเห็นว่า $1\geqslant 1$
$8-4(ac+ab+cb)+2(abc)(a+b+c)-(abc)^2\geqslant 1$
$(2-ab)(2-bc)(2-ca)\geqslant 1$
ผมเพิ่งหัดพิสูจน์ผิดพลาดตรงไหนก็บอกด้วยครับ

ตรงเน้นดำๆผมยังไม่ได้อ่านละเอียดนะครับ แต่ผมคิดว่าคุณแอบมั่วตรงนี้แหละครับ ไปคิดมาใหม่ดีๆนะครับ
ส่วนวิธีทำข้อนี้ก็ไม่ได้ยากอะไรมากเลยใช้ p q r รวมกับการใช้ความเป็นฟังก์ชั่นเพิ่มนิดหน่อยรวมกับอสมการ schur ก็ออกแล้วนะครับ ไปลองมาใหม่นะครับ

[Platootod]

แก้แล้วครับช่วยดูด้วยว่าถูกรึปล่าวครับ

[SpammingMan]

สมมุติ... $a,b\in R+$
ถ้า $a\geq b$
เราได้ว่า $-a\leq -b$ นะครับ!! - -" ไปอ่านให้ละเอียดๆกว่านี้จะดีกว่านะครับ

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

สมมุติ... $a,b\in R+$
ถ้า $a\geq b$
เราได้ว่า $-a\leq -b$ นะครับ!! - -" ไปอ่านให้ละเอียดๆกว่านี้จะดีกว่านะครับ

ไม่เข้าใจอ่ะครับแล้วก็ abc<,=หนึ่งนะครับถ้าแทนมันเท่ากับหนึ่งอ่ะครับจะได้พอดีครับ
ในหนังสือที่ผมอ่านเค้ามีบ้างข้อที่แทนค่าลงไปเลยอ่ะครับแล้วเค้าสรุปคล้ายผมเลย
แต่ไม่ใช่ข้อเดียวกันน่ะครับผมก็เลยงงครับ

[Pervushin188]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

สมมุติ... $a,b\in R+$
ถ้า $a\geq b$
เราได้ว่า $-a\leq -b$ นะครับ!! - -" ไปอ่านให้ละเอียดๆกว่านี้จะดีกว่านะครับ

มันไม่เกี่ยวอะไรก้นเลยครับคุณSpammingMan
หน้าแตกก็บอกมาเหอะคับ

ผมว่าคุณปลาทูทอดคงมีเพื่อนน่าแตกแล้วล่ะครับ

[Let it be]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pervushin188

มันไม่เกี่ยวอะไรก้นเลยครับคุณSpammingMan
หน้าแตกก็บอกมาเหอะคับ

ผมว่าคุณปลาทูทอดคงมีเพื่อนน่าแตกแล้วล่ะครับ

ผมว่าคุณแหละครับหน้าแตก

[RoSe-JoKer]

เออ ผมเองอ่านวิธีทำของน้อง platootod แล้วก็สับสนอยู่เหมือนกัน? ช่วยจัดแจงวิธีทำแบบเป็นขั้นเป็นตอนให้ละเอียดกว่านี้จะได้ไหมครับ?
ส่วนตัวก็คิดว่าน่าจะผิดในเรื่องกลับเครื่องหมายเหมือนกับคุณ spammingman อยู่เหมือนกัน...
ว่าแต่คุณ Spammingman ทำข้อนี้ได้แล้วหรอครับ? อยากเห็นวิธีทำจังเลย แสดงให้ดูหน่อยได้ไหมครับ?

[Platootod]

คือผมไม่รู้อ่ะครับว่าทำไม่กลับเครื่องหมายถึงผิดครับ
แต่เดี๋ยวผมจะพยายามคิดวิธีทำอื่นนะครับ

[SpammingMan]

ผมทำแบบนี้นะครับ ให้
$f(r)=7-4q+2rp-r^2$
เราได้ว่า $f'(r)=p-r$ ซึ่งถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า $p-r\geq 0$ เราจะได้ว่า $f(r)$ เป็นฟังกชั่นเพิ่ม...วิธีพิสูจน์ก็ไม่ยาก ก็ทำดีกรีให้เท่ากันเราจะได้ว่าเราต้องพิสูจน์ว่า
$p^6+4p^2q^2\geq 4p^4q+9r^2$ ก็กำจัด $9r^2$ ไปเสียโดย amgm $p^2q^2$
และก็ Normalize ให้ $p=1$ ได้ว่าเราต้องพิสูจน์ว่า
$35q^2-36q+9\geq 0$
ซึ่งจากการหาอนุพันธ์ลำดับที่ 1 เราได้ว่า $f(q)=35q^2-36q+9$ เกิด min ในช่วง $0 \leq q\leq \frac{1}{3}$
ที่ $q=\frac{1}{3}$ ซึ่งทำให้ได้ว่า $f(q)\geq 0$ เป็นจริง
พอ $f(r)$ เป็นฟังก์ชั่นเพิ่ม จากอสมการ schur เราได้ว่า
$f(r)\geq f(\frac{4pq-p^3}{9})$
แล้วก็จากการที่ $p^2-2q=3$
เราก็จะได้ว่า$ f(\frac{4pq-p^3}{9})=\frac{(3-p)(p^5+3p^4-21p^3-63p^2+117p+351)}{81}$
ซึ่งก็สามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายว่า $f(\frac{4pq-p^3}{9})\geq 0$ จริง บน $3 \geq p \geq 0$
จบการพิสูจน์ (เจ้าคะ)

[Platootod]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan

สมมุติ... $a,b\in R+$
ถ้า $a\geq b$
เราได้ว่า $-a\leq -b$ นะครับ!! - -" ไปอ่านให้ละเอียดๆกว่านี้จะดีกว่านะครับ

คือผมงงอ่ะครับว่ากลับเครื่องหมายเกี่ยวกันยังไงผมไม่เข้าใจจริงครับ
รบกวนพี่ช่วยอธิบายด้วยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

คือผมงงอ่ะครับว่ากลับเครื่องหมายเกี่ยวกันยังไงผมไม่เข้าใจจริงครับ
รบกวนพี่ช่วยอธิบายด้วยครับ

อันนี้แหละครับ อสมการพื้นฐานที่กำลังหาอยู่ ถ้าพวกนี้ไม่แม่นก็ทำอะไรต่อได้ยากครับ