โจทย์แก้ เบื่อ ครับ

[Ne[S]zA]

1.จงแก้สมการ $2^{-\frac{2}{3x}}-2^{1+x^2+x^4+x^6+...}=0$
2.จงหาผลบวกของรากที่เป็นจำนวนจริงของสมการ $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$
3.กำหนด $x^2=xy-1$ และ $y^2=1-y$ จงหาค่าของ $x^5$
4.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $4^n+n^4$ เป็นจำนวนเฉพาะ
5.จงหาจำนวนตรรกยะบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูปของ $\frac{x}{30}+\frac{y}{36}$ เมื่อ $x,y$ เป็นจำนวนเต็ม
6.จำนวน $\dfrac{400!}{100!300!}$ ลงท้ายด้วยเลขศูนย์กี่ตัว
7.กำหนดให้ $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}$
และ $3333S_{3332}-(3333+S_1+S_2+S_3+...+S_{3332}-k)=0$ ถ้า $2009^k+k=(abcd)^k$
โดยที่ $a<b<c<d$ และ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $\frac{b+d}{a+c}=e$ โดยที่ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก
แล้ว $2009^k$ หารด้วย $e$ เหลือเศษเท่าไร (ข้อนี้แต่งเองถ้าผิดพลาดประการใดก็ขอโทษด้วยนะครับ)

[banker]

ไปขุดมาจากไหนล่ะนี่ ทำไม่ได้สักข้อ

[Kaito KunG]

1.x= -0.5 , 2
6.1 ตัว
7.10
ไม่มั่นใจเลยครับ ทำไปมึนไป

[Ne[S]zA]

ข้อ1. มีคำตอบเดียวนะครับคือ $-0.5$ เพราะเป็นลำดับลู่เข้า $|r|<1$
ข้อ6. ถูกข้อเดียวครับ

[Kaito KunG]

ข้อ 7 ตอบ 9 รึป่าวครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

ข้อ 7 ตอบ 9 รึป่าวครับ

ถูกละครับ ไม่ทราบว่าทำอย่างไรครับอิอิ
อุตส่าทำให้มึนเหอๆๆ ไว้ครั้งหน้าเอาโหดกว่านี้

[Kaito KunG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ถูกละครับ ไม่ทราบว่าทำอย่างไรครับอิอิ
อุตส่าทำให้มึนเหอๆๆ ไว้ครั้งหน้าเอาโหดกว่านี้

แค่นี้ก็มึนละครับ ผมกระจายจัดรูปให้มันตัดกันธรรมดาน่ะครับ
ปล.โจทย์คุณ Nesza เลขสวยมากครับ

คุณ Nesza ช่วยใบ้ข้อ 2 ได้มั้ยครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

คุณ Nesza ช่วยใบ้ข้อ 2 ได้มั้ยครับ

คูณกันให้หมดครับ แล้วทำให้เป็นพหุนามส่วนกลับครับ

[Ne[S]zA]

วิธีทำข้อ6.ครับ
หาจำนวนเลข $0$ จาก 400! ได้ $80+16+3+0=99$
หาจำนวนเลข $0$ จาก 100! ได้ $20+4+0=24$
หาจำนวนเลข $0$ จาก 300! ได้ $60+12+2+0=74$
เพราะฉะนั้น $\dfrac{400!}{100!300!}=\dfrac{a(10^{99})}{b(10^{24})b(10^{74})}=\dfrac{a}{bc}\times 10$ โดยที่ $a,b,c$ ไม่มี ตัวประกอบเป็น $10$
ตอบลงท้ายด้วย $0$ ตัวเดียว

[Kaito KunG]

ข้อ 4 ได้ n = 1 คำตอบเดียวรึเปล่าครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito KunG

ข้อ 4 ได้ n = 1 คำตอบเดียวรึเปล่าครับ

ทำยังไงหรอครับ ผมก็ทำไม่เป็นครับ

[Kaito KunG]

$4^n+n^4 = \left(\,\right. 2^n+n^2\left.\,\right)^2-2^n\times 2\times n^2$

$\therefore ถ้า n เป็นเลขคี่(ยกเว้น1)จะทำให้ 4^n+n^4 $
แยกตัวประกอบได้ แต่ถ้า n เป็นคู่ 2 หารลงตัว
$\therefore n=1 $
(ผิดตรงไหนก็ขอโทษด้วยนะครับ)

[Ne[S]zA]

ตอบ n=1 ถูกละครับ ขอบคุณสำหรับวิธีทำครับ
ปล.ข้อ 2 กับ 3 ทำได้หรือยังครับ?

[Kaito KunG]

ยังเลยครับ ขอวิธีทำข้อ 2 เลยได้มั้ยครับ งงจริงๆ

[Ne[S]zA]

ข้อ2)จับคูณกันให้หมดแล้วจัดรูปใหม่ได้ดังนี้
$$x^6+x^5+x^4-28x^3+x^2+x+1=0$$
นำ $x^3$ หารทั้ง 2 ข้างของสมการ
$$x^3+x^2+x-28+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$$
ให้ $k=x+\frac{1}{x}$ ได้ $x^2+\frac{1}{x^2}=k^2-2$ และ $x^3+\frac{1}{x^3}=k^3-3k$
แทนไปในสมการได้ว่า
$$k^3-3k+k^2-2+k-28=0$$
$$k^3+k^2-2k-30=0$$
$$(k-3)(k^2+4k+10)=0$$
เพราะว่า $(k^2+4k+10)=(k+2)^2+6>0$ เพราะฉะนั้น $k=3$
$$x+\frac{1}{x}=3$$
$$ x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$
$$\therefore x_1+x_2=3$$