..โจทย์สนุกๆ..

[Scylla_Shadow]

สนุกๆครับไม่เครียด

1. จงหาค่าของ $x^2+y^2+z^2+w^2$ จากระบบสมการ
$\frac{x^2}{2^2-1^2}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1$
$\frac{x^2}{4^2-1^2}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1$
$\frac{x^2}{6^2-1^2}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1$
$\frac{x^2}{8^2-1^2}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1$

2. ข้อนี้เป็นโจทย์ในค่าย....ผมว่าน่าจะทำได้กันทั้งค่ายครับ

ถ้า $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$ จงหา a,b,c ( เมื่อa,b,c ไม่มีจำนวนใดเป็น 0 และ ไม่มีจำนวนใดเป็นอินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน)

3. จงหาอัตราส่วนพื้นที่รูปแปดเหลี่ยมที่แนบในวงกลมต่อพื้นที่รูปแปดเหลี่ยมที่แนบนอกวงกลมวงเดียวกัน

4. จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^2-32[x]-14=555$ เมื่อ [x] เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดซึ่งไม่เกิน x

5. จงหาค่าสูงสุดของ $432x-x^3$

6. จงแยกตัวประกอบของ $x^8+14x^4+1$


สนุกๆครับ 6 ข้อ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

สนุกๆครับไม่เครียด

3. จงหาอัตราส่วนพื้นที่รูปแปดเหลี่ยมที่แนบในวงกลมต่อพื้นที่รูปแปดเหลี่ยมที่แนบนอกวงกลมวงเดียวกัน

ตอบ $อัตราส่วนพื้นที่ = cos^222.5 = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \ $ (ขอตอบข้อง่ายก่อนนะครับ)

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

สนุกๆครับไม่เครียด

5. จงหาค่าสูงสุดของ $432x-x^3$

ตอบ ค่าสูงสุดของ $432x-x^3$ คือ $\infty $ ครับ และเกิดขึ้นเมื่อ $x \rightarrow -\infty $

[Beta]

ข้อ5ครับ ไม่ค่อยแน่ใจครับ พึ่งมาใหม่
432x−x3
ผมนึกไม่ออกครับว่าทำยังไงของม.ต้น
แต่ว่าจะขอใช้อนุพันธุ์ละกันครับ
หาค่าสูงสุดของสมการ 432x−x3
ให้ f(x)= 432x−x3
หาดิฟได้งว่า 432-3x2
หาค่าสูงสุดต่ำสุดจะได้ว่า
432-3x2=0
3x2=432
x2=144
x=12,-12
ดิฟอีกครั้งเพิ่อตรวจสอบค่าสูงสุดต่ำสุด จะได้
f''(x)=-6x
แทนค่าx=12 จะได้ค่า -72<0 กราฟเว้าลง
แทนค่าx=-12 จะได้ค่า 72>0 กราฟเว้าขึ้น
ดังนั้นค่าสูงสุดคือ (12,3456)

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beta

ข้อ5ครับ ไม่ค่อยแน่ใจครับ พึ่งมาใหม่
432x−x3
ผมนึกไม่ออกครับว่าทำยังไงของม.ต้น
แต่ว่าจะขอใช้อนุพันธุ์ละกันครับ
หาค่าสูงสุดของสมการ 432x−x3
ให้ f(x)= 432x−x3
หาดิฟได้งว่า 432-3x2
หาค่าสูงสุดต่ำสุดจะได้ว่า
432-3x2=0
3x2=432
x2=144
x=12,-12
ดิฟอีกครั้งเพิ่อตรวจสอบค่าสูงสุดต่ำสุด จะได้
f''(x)=-6x
แทนค่าx=12 จะได้ค่า -72<0 กราฟเว้าลง
แทนค่าx=-12 จะได้ค่า 72>0 กราฟเว้าขึ้น
ดังนั้นค่าสูงสุดคือ (12,3456)

หากลองวาดกราฟดูแล้วจะเป็นกราฟเว้านขึ้นเมื่อ x<0 ครับ ดังนั้นค่าสูงสุดจึงเป็น infinity

ส่วนถ้ากำหนดต่ออีกหน่อยว่า x เป็นจำนวนบวก ค่าสูงสุดจึงจะเป็น 3456 ครับ

[Beta]

ขอบคุณครับชี้แนะผมจำผิดอีก

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

สนุกๆครับไม่เครียด

4. จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^2-32[x]-14=555$ เมื่อ [x] เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดซึ่งไม่เกิน x

6. จงแยกตัวประกอบของ $x^8+14x^4+1$

ข้อ 4. ตอบ $x = +\sqrt{1977} , -\sqrt{153}$ (แนวคิด $x^2$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม)

ข้อ 6. ตอบ $(x^4+7+4\sqrt{3}) \cdot (x^4+7-4\sqrt{3})$

ถ้าข้อ 6. เปลี่ยนโจทย์เป็น จงแยกตัวประกอบของ $x^8-14x^4+1$ คำตอบจะสวยมากเลยครับ

คือ ตอบ $ (x^2-2+\sqrt{3}) \cdot (x^2-2-\sqrt{3}) \cdot (x^2+2+\sqrt{3}) \cdot (x^2+2-\sqrt{3}) $

[math student]

ช่วยแสดงวิธีทำข้อสี่ได้ไหมครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math student

ช่วยแสดงวิธีทำข้อสี่ได้ไหมครับ

ข้อ 4. จงหารากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^2-32[x]-14=555$ เมื่อ [x] เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดซึ่งไม่เกิน x

วิธีทำ :- เมื่อ [x] เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดซึ่งไม่เกิน x --> แสดงว่า $x = [x] + a$ ; โดยที่ $ 0\leqslant a < 1$

จัดรูปสมการใหม่ได้ $x^2 = 32[x] + 569$, แทนค่า $x = [x]+a$ ลงในสมการด้านบน

ได้ $x^2= [x]^2+(2a[x]+a^2) = [x]^2+ m = 32[x] + 569$, โดยที่ $m = (2a[x]+a^2)$ ดังนั้น $x^2,m \in I$

คิดแยกได้ 2 กรณี คือ

กรณี(1) เมื่อ $([x] \geqslant 0)$ เราจะพบว่า $(0 \leqslant m < 2[x]+1)$

จากสมการ $[x]^2+ m = 32[x]+569$ --> จัดรูปใหม่ได้ $ [x]^2-32[x] +256 = (825-m)$

หรือ $ ([x]-16)^2 = (825-m) < 825$ <-- จากเงื่อนไขที่ว่า $m \geqslant 0$

แสดงว่า (825-m) ต้องถอดรูทได้ลงตัว $30^2= 900, 29^2= 841$, $28^2= 784$

ดังนั้น ([x]-16) = 28 --> [x] = 44 --> $x^2= 32[x] + 569 = 1977$

กรณี (2) เมื่อ $([x]<-1)$ เราจะพบว่า $(2[x]+1<m\leqslant 0 )$ --> กำหนดให้ให้ $n = -m, n \geqslant 0$

จากสมการ $[x]^2+ m = 32[x]+569$ --> จะจัดรูปได้ $([x]-16)^2= (825-m) = (825+n) > 825$<-- จากเงื่อนไขที่ว่า $n \geqslant 0$

แสดงว่า (825+n) ต้องถอดรูทได้ลงตัว $30^2= 900$, $29^2= 841$

ดังนั้น ([x]-16) = -29 --> [x] = -13 --> $x^2 = 32[x] + 569 = 153$

จะได้ว่า $x = \sqrt{1977}, -\sqrt{153}$ เป็นคำตอบครับ

[Puriwatt]

ตอนผมทำข้อ.4 ผมเริ่มจากดูรูปสมการ $x^2 -32[x] -14 = 555$ แล้วพบว่า

กรณีที่ (1) เมื่อ 0 < [x] < x เราจะพบว่า $[x]^2 -32[x] -14 < x^2 -32[x] -14$ เสมอ

ดังนั้นจะได้ $[x]^2 -32[x] +256 < (555+14+256)$ หรือ $([x]-16)^2< 825$

และหาค่า$([x]-16)^2$ ไล่จาก $30^2= 900, 29^2= 841$, จนถึง $28^2= 784 < 825$ ยูเรก้า

ดังนั้น ([x]-16) = 28 --> [x] = 44 --> $x^2= 32[x] + 569 = 32[44]+569 = 1977$

จะได้ว่า $x = \sqrt{1977}$ แล้วจึงทำกรณีติดลบอีกกรณีครับ

กรณีที่ (2) เมื่อ [x] < x < 0 จะพบว่า $[x]^2 -32[x] -14 > 555$, จัดรูปได้ $([x]-16)^2 > 825$

ดังนั้นได้ค่า ([x]-16) = -29 --> [x] = -13 --> $x^2= 32[x]+569 = 32[-13]+569 = 153$

จะได้ว่า $x = -\sqrt{153}$ เป็นอีกคำตอบครับ

[Puriwatt]

วิธีคิดที่สอง เป็นวิธีที่ขยายจากที่ผมใช้คิดจริงๆ

แต่ตอนแรกผมเรียบเรียงไม่ถูก เพราะมันข้ามไปหาตัวเลข +/-28 และ +/-29 (แบบคาดเดาตามความรู้สึก)

แล้วนำมาแทนค่าหาคำตอบเลย โดยคิดเงื่อนไขในกรณีต่างๆหลังจากแทนค่าแล้วเพื่อการตรวจสอบคำตอบครับ

พอมีผู้ถามเลยต้องอธิบายกันอย่างยาวเลย (แบบว่าเปลี่ยนจาก วิธีของเด็กแรกเกิด เป็น วิธีของเด็กมัธยม อะครับ)

[Puriwatt]

ข้อ 1. ใช้การแก้สมการ 4 ตัวแปร ด้วยวิธีธรรมดาก็น่าจะคิดออกได้ไม่ยาก (แต่ตัวเลขเยอะ)

ข้อ 2. ข้อนี้เป็นโจทย์ในค่าย....ผมว่าน่าจะทำได้กันทั้งค่ายครับ --> งั้นคงต้องรอให้คนในค่าย(อะไรก็ไม่รู้) มาเฉลยเองครับ

คำตอบคงจะหาได้ไม่ยาก แต่ถ้าจะให้พิมพ์วิธีคิดบอกได้เลยว่ายาวแน่ๆ

[math student]

รบกวนเฉลยข้อสองด้วยครับ
กำลังมึนครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ข้อ 1. ใช้การแก้สมการ 4 ตัวแปร ด้วยวิธีธรรมดาก็น่าจะคิดออกได้ไม่ยาก (แต่ตัวเลขเยอะ)

ข้อ 2. ข้อนี้เป็นโจทย์ในค่าย....ผมว่าน่าจะทำได้กันทั้งค่ายครับ --> งั้นคงต้องรอให้คนในค่าย(อะไรก็ไม่รู้) มาเฉลยเองครับ

คำตอบคงจะหาได้ไม่ยาก แต่ถ้าจะให้พิมพ์วิธีคิดบอกได้เลยว่ายาวแน่ๆ

ข้อ1 ถ้าไม่อยากใช้วิธีธรรมดาก็ลองมองให้เป็นฟังก์ชั่นพหุนามดูครับ อาจง่ายขึ้น แต่เท่าที่ดูคราวๆ ตัวเลขก็เยอะเหมือนกันครับถ้าคิดเลขไม่ผิดคำตอบคือ $\frac{6753}{128}$
ข้อ2. คงไม่ได้หมายถึงค่ายกักกันนะครับ วิธีคิด ลองให้ $y =\sqrt[3]{2} $ และสังเกตความสัมพันธ์ที่ว่า $(y-1)(y^2+y+1) = y^3-1$ ส่วนคำตอบก็คือ $(a,b,c) =(\frac{4}{9}, -\frac{2}{9}, \frac{1}{9})$ (สลับ a,b,c ได้ครับ)

[math student]

ยังไม่เข้าใจอ่ะครับ
ขอวิธีข้อสองแบบเต้มๆได้ไหมครับ