ปัญหาพีชคณิตครับ

[puppuff]

กำหนด m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
ซึ่ง

$m^{m+n}=n^{12}$
$n^{m+n}=m^3$

จงหา

$m^2+n^2$

คือผมได้โจทย์ข้อนี้มาจากหนังสือพีชคณิตคิดเพื่อชาติครับ
คือข้อนี้ m, n ตอบ 1 ได้ไหมครับ เพราะว่ามันก็ลงกับเงื่อนไขนะครับ
ช่วยตอบด้วยครับ ขอบคุณครับ

[Aroonsawad]

เค้าบอกรึป่าวครับว่า m,n แตกต่างกัน?

[narongratp]

$n^\left(\,n+m\right) \,=\,m^3$

$\left(\,n^\left(\,n+m\right) \right)^\left(\,n+m\right) \,=\,\left(\,m^3\right)^\left(\,m+n\right) $

$n^\left(\,(n+m)(n+m)\right) \,=\,(m^\left(\,m+n\right) )^3$


$n^\left(\,(n+m)(n+m)\right) \,=\,(n^\left(\,12\right) )^3\,=\,n^\left(\,36\right) $

$m+n \,=\, 6 $(มั้ง)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ narongratp

$n^\left(\,n+m\right) \,=\,m^3$

$\left(\,n^\left(\,n+m\right) \right)^\left(\,n+m\right) \,=\,\left(\,m^3\right)^\left(\,m+n\right) $

$n^\left(\,(n+m)(n+m)\right) \,=\,(m^\left(\,m+n\right) )^3$


$n^\left(\,(n+m)(n+m)\right) \,=\,(n^\left(\,12\right) )^3\,=\,n^\left(\,36\right) $

$m+n \,=\, 6 $(มั้ง)

ทำอย่างนี้ถึงจะเรียกว่าเป็นคณิตศาสตร์หน่อย

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ narongratp

$n^\left(\,n+m\right) \,=\,m^3$

$\left(\,n^\left(\,n+m\right) \right)^\left(\,n+m\right) \,=\,\left(\,m^3\right)^\left(\,m+n\right) $

$n^\left(\,(n+m)(n+m)\right) \,=\,(m^\left(\,m+n\right) )^3$


$n^\left(\,(n+m)(n+m)\right) \,=\,(n^\left(\,12\right) )^3\,=\,n^\left(\,36\right) $

$m+n \,=\, 6 $(มั้ง)

ผมขอลองคิดต่อดูนะครับ
กรณี m = n = 1 ก้เห็นได้ชัดว่าเป็นคำตอบของสมการ
กรณีที่ m และ n ไม่เท่ากับ 1 จะได้ตามคุณ narongratp
ว่า m+n=6
แทนตรง $m^{m+n}=n^{12}$ จะได้ $m=n^2$
นำกลับมาแทน m+n=6
ได้ $n^2+n-6=0$
n=2,-3
แต่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ---> n=2
ทำให้ได้ว่า m=4

ดังนั้น (m,n)=(1,1),(4,2)
$m^2+n^2=2,20$