combi TMO8th shortlist

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

C3 กำหนดให้เซตAมีสมาชิก17จำนวน โดยแต่ละสมาชิกในAไม่มีสมาชิกใดเลยที่หารด้วยจำนวนเฉพาะที่มากกว่า8ลงตัว จงพิสูจน์ว่า จะมี2สมาชิกในAซึ่งรากที่สองของผลคูณ2จำนวนนี้เป็นจำนวนเต็ม
C8 มีทีม2011ทีมเข้าแข่งขันเทนนิสแบบพบกันหมด และผลการแข่งขันแต่ละคู่มีเพียงแพ้ ชนะเท่านั้น จะเรียก3ทีมใดๆว่าเป็นกลุ่มทัดเทียม ก็ต่อเมื่อ แต่ละทีมในกลุ่มนี้จะแพ้1ทีมในกลุ่มและชนะ1ทีมในกลุ่ม
จงหาว่ามีกลุ่มทัดเทียมสูงสุดเท่ากับเท่าใด

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

เพิ่มคำถามครับ
1. จงหาคือของ $n$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $1234\leqslant n<5678$ และทำให้

$$\frac{9n^2+31n-931}{9n^2+45n-945}$$

เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
_________________________________________________________________________________________________________

2. จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$\left\lfloor2x\right\rfloor +\left\lfloor3x\right\rfloor =9x-\frac{7}{4}$$
_________________________________________________________________________________________________________

3. จงหาว่ามีจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งทำให้มีชุดคำตอบ $(x_1,x_2,x_3,...x_{2012})$ ซึ่งเป็น

จำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $x_1<x_2<x_3<...<x_{2012}$ และ

$$\frac{1}{x_1} +\frac{2}{x_2} +\frac{3}{x_3} +...+\frac{2012}{x_{2012}} =n$$

[polsk133]

C3 แต่ละจำนวนจะเขียนในรูป $2^a3^b5^c7^d$ ถอดรากที่สองลงตัวต้องเป็นแบบไหน ลองกำหนดรังดูครับ

c8 เคยมีคนเฉลยละครับในกระทู้ short list

1. ให้ $A=9n^2+31n-931 $

$(9n^2+31n-931,9n^2+45n-945)=(9n^2+31n-931,14(n-1))$

จาก $(A,n-1)=(49n-940,n-1)=(891,n-1)=(81x11,n-1)$

ดังนั้น 7และ2 ต้องหาร A ไม่ลงตัว และ 11,3 ต้องหาร n-1 ไม่ลงตัว ก็ยากอยู่ดีแฮะ - -

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

เพิ่มคำถามครับ
1. จงหาคือของ $n$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $1234\leqslant n<5678$ และทำให้

$$\frac{9n^2+31n-931}{9n^2+45n-945}$$

เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
_________________________________________________________________________________________________________

2. จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$\left\lfloor2x\right\rfloor +\left\lfloor3x\right\rfloor =9x-\frac{7}{4}$$
_________________________________________________________________________________________________________

3. จงหาว่ามีจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งทำให้มีชุดคำตอบ $(x_1,x_2,x_3,...x_{2012})$ ซึ่งเป็น

จำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $x_1<x_2<x_3<...<x_{2012}$ และ

$$\frac{1}{x_1} +\frac{2}{x_2} +\frac{3}{x_3} +...+\frac{2012}{x_{2012}} =n$$
_________________________________________________________________________________________________
4.กำหนดให้

$N=2^{2^{2557}-2}+2\cdot2^{2^{2557}-3}+3\cdot2^{2^{2557}-4}+...+(2^{2556}-1)(2^{2^{2556}})+2^{2556}(2^{2^{2556}-1})+(2^{2556}-1)(2^{2^{2556}-2})+...+3\cdot 2^2+2\cdot 2+1$

จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $N-n$ มี $2555$ เป็นตัวประกอบ

1.หรม เศษกับส่วน =1

2.$\left\lfloor2x\right\rfloor =2x-1,2x$
$\left\lfloor3x\right\rfloor =3x-1,3x$

[Thgx0312555]

ข้อ 4 ลองใช้เอกลักษณ์นี้ดูครับ

$(1+x+\cdots+x^n)^2=1+2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^n+nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+\cdots +x^{2n}$

[Thgx0312555]

ข้อสาม n มีค่าเป็นไปได้ตั้งแต่ 1-2012 ครับ ลองแทนดู

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ข้อสาม n มีค่าเป็นไปได้ตั้งแต่ 1-2012 ครับ ลองแทนดู

$x_{i}$ เป็นจำนวนเต็มบวกนะครับ

เอ่อ จริงด้วยแหะ ขออภัยครับ