อนุกรมอนันต์ครับ

[Aphenisol]

อยากรู้ว่าผลบวกของอนุกรม

$\sum_{n = 1}^{\infty}$ $\frac{6}{(n)(n+1)(2n+1)}$

หายังไง แล้วก็มีค่าเท่าไร

พอดีอยากรู้นะครับว่าหายังไง ลองหาเองดูแล้วก็ไม่ได้สักที

[gnopy]

ดูพี่กอนทำสิครับ


ตอนแรกผมนึกว่าทำแบบทั่วไปได้ เพราะไม่ได้คิดจนเสร็จ

สงสัยถึงตรง เศษส่วนย่อยแล้วพยายามสังเกต และหา รูปปิดของผลบวก

ก็คงหาออกมาได้ยาก

[gon]

ผมค่อนข้างรีบ ๆ เขียน อาจจะมีผิดพลาดบ้าง แ่ต่โดยรวมน่าจะถูกต้อง

[Aphenisol]

ไม่เคยคิดเลยว่าใช้วิธีนี้ได้ -*-

ขอบคุณมากครับ

[beginner01]

ลองคำนวณดูใน mathematica มันได้เป็น $6(3-2\ln{4})$ อ่ะครับ
เท่าที่ดูใน mathematica มันเริ่มผิดไปตรงบรรทัดที่สลับเอาตัวอินทิเกรตกับตัว summation อ่ะครับ

[Anonymous314]

ไม่ทราบว่าคุณ beginner01 ใช้ฟังก์ชันอะไรในการหาครับ ทำไมผมได้แบบนี้อะ

[Aphenisol]

Sum[1/(Sum[k^2, {k, 1, n}]), {n, 1, Infinity}]

ผมใช้ตัวนี้หาออกมาก็ได้เหมือนกับคุณ beginner01 อะครับ

ผมลองไปเช็คคำตอบกับ Mathematica คำตอบที่ได้ก็ไม่ตรงจริงๆนะครับ

แต่ผมก็พอจะเห็นวิธีที่จะหาได้แล้ว คำตอบผิดไม่เป็นไรหรอกครับ

ก็ต้องขอบคุณอีกครั้งนะครับ

[nooonuii]

ผมทำแบบนี้ครับ

$\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}=\dfrac{24}{2n(2n+1)}-\dfrac{6}{n(n+1)}$

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{24}{2n(2n+1)}-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{6}{n(n+1)}}$

ต่อไปพิจารณาอนุกรมสองตัวนี้

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}}=1$

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n(2n+1)}}=1-\ln{2}$

อนุกรมตัวแรกหาได้ไม่ยากโดยใช้เทคนิค telescoping sum ครับ

ส่วนตัวที่สองหาแบบนี้

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n(2n+1)}}=\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{4\cdot 5}+\dfrac{1}{6\cdot 7}+\cdots$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1-\Big(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\cdots\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1-\ln{2}$

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}=24(1-\ln{2})-6(1)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= 18-24\ln{2}$

[gon]

ผมลองตรวจสอบคำตอบจากวิธีคิดของอนุกรมที่ nooonuii แสดงไว้ รู้แล้วว่าวิธีนี้จะใช้อย่างไรถึงจะได้ผลลัพธ์ถูกต้อง แต่สาเหตุที่ผิดนั้น ผมยังไม่รู้ครับ

[Aphenisol]

เป็นไปได้ไหมครับที่ว่ามันขึ้นอยู่กับการจัดรูปถึงจะได้คำตอบที่ถูกออกมา

จัดต่างกันนิดเดียว แต่ผลลัพธ์ไปคนละแบบเลย

แล้วถ้าเป็นแบบนั้นจริง เราจะรู้ได้ไงละครับว่ามันเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

[nooonuii]

ผมคิดว่าวิธีของพี่ Gon อาจจะมีปัญหาตอนสลับที่ integral กับ summation ครับ

เพราะเราไม่สามารถทำอย่างนี้ได้เสมอไป มันขึ้นอยู่กับชนิดของการลู่เข้าของอนุกรมครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

ไม่ทราบว่าคุณ beginner01 ใช้ฟังก์ชันอะไรในการหาครับ ทำไมผมได้แบบนี้อะ

การคำนวณใน Mathematica ส่วนใหญ่ไม่ Simplify คำตอบให้ ยกเว้นรุ่นแอฟฟ่า รุ่นที่ผมใช้ 5.0a ไม่มีปัญหา คำตอบได้เหมือนคุณ beginner01 ผมว่ารุ่นที่คุณ Anonymous314 ใช้อาจเป็นรุ่น... เบต้า ที่ส่วนใหญ่ไม่ Simplify คำตอบให้ ถ้าต้องการดูคำตอบที่ลดรูป ใช้คำสั่ง Simplify หรือ FullSimplify ต่อท้าย ในรูปฟังก์ชัน (//) ถ้าต้องการดูการเขียนแบบดั้งเดิมให้ใช้คำสั่ง TraditionalForm ต่อท้ายในรูปฟังก์ชัน (//) ดังรูปต่อไปนี้



ในส่วนวิธีคิดของคุณ gon ส่วนตัวผมชอบ Style การคิดที่ดูแล้วน่าชื่มชมกับความพยายาม และหาวิธีการที่หลากหลาย และของคุณ noonuii ก็ดูแล้วน่านับถือที่พยายามคิดใน Scope ความรู้พื้นฐาน และในส่วนอื่น ๆ อีกหลายเรื่อง ของคุณ gon ผิดตรงนี้ครับ ดังรูป



เอาล่ะ!!! ไหน ๆ ก็มาแล้วขอเจาะเกร็ด (ความรู้) ใน Mathematica มาให้ก็แล้วกัน (ที่จริงอยากจะ Charge Battery ให้ตัวเองซักระยะ เพราะช่วงนี้เจอคลื่นมรสุมเยอะ...)

เจาะเกร็ด (ความรู้) เรื่อง Summation ใน Mathematica

การคำนวณใน Mathematica จะพยายามใช้สูตรสำเร็จที่มีรูปแบบ Generalization เรียบร้อยแล้ว ในแต่ละเรื่องในการคำนวณ ถ้าไม่พบจะพิจารณาตามลำดับความสำคัญ คือ คำนวณว่าลู่เข้าหรือไม่ (โดยใช้สูตรสำเร็จที่มีรูปแบบ Generalization เรียบร้อยแล้ว ในแต่ละเรื่อง) , คำนวณในรูป Telescope ณ ที่นี้เป็น Summation , คำนวณแบบ Recursive , ทำการ Simplify โจทย์ใหม่ แล้ววนไปคิดสูตรสำเร็จอีกครั้ง ==> ถ้าตอบได้ก็จะได้คำตอบออกมา ถ้าตอบไม่ได้ก็จะให้คำตอบที่เป็นโจทย์ที่เราป้อนนั่นเอง (ซึ่งพบบ่อย ๆ ถ้าฟังก์ชันในการคำนวณซับซ้อน)

เอาล่ะเรามาคำนวณ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} $ ในรูป Generalization ของ Mathematica กันดีกว่า
1. เครื่องจะทำการตรวจสอบสูตรสำเร็จ ถ้าไม่มีก็คำนวณตามลำดับความสำคัญ สุดท้ายมาที่ process Simplify โดยใช้คำสั่งการแยกเป็นเศษส่วนย่อย ที่คือ Apart[...] จะได้
$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} = 6\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\,\right. \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{4}{2n+1} \left.\,\right) $$

2. ต่อไปเครื่องจะตรวจสอบว่าจะต้องใช้สูตรสำเร็จที่มีรูปแบบ Generalization อะไร สุดท้ายมาตกที่ PolyGamma Function ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ Natural Logarithm ของฟังก์ชัน Gamma ซึ่งเป็น Generalization ของฟังก์ชัน Factorial อีกที (ผมเคยได้อธิบายมาครั้งหนึ่งแล้วในหัวข้อก่อน ๆ) คลิกดูรายละเอียด Gamma Function มีสูตรเยอะแยะมากมาย และจะใช้สูตรไหนดี สุดท้ายก็หาเจอ (การหาจะใช้ความรู้เรื่อง MatchQ Pattern ใน Mathematica เข้าตรวจสอบ) คือ สูตรนี้



คลิกดูรายละเอียดเพิ่มเติม

และแล้วก็เริ่มเปิดฉากการคำนวณเลย ก่อนอื่นต้องทำความเข้าใจสัญลักษณ์ก่อน เจ้า $\gamma $ (gamma ตัวเล็ก) ก็คือค่าคงตัวที่เรียกว่า Euler Constant ที่มีค่าเป็น $\gamma = 0.57721566... $ คลิกดูรายละเอียดเพิ่มเติม และ $\psi (z) = {\psi}^{(0)}(z) $ เอาล่ะจาก Digamma_function ในรูปด้านบน เราจะได้
$$ \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{x+k}=-\gamma -\psi (x+1)+\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} $$
เพราะฉะนั้น ในโจทย์ของเรา Take n->k โดยใช้คำสั่ง Replacement[...] ใน Mathematica
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{6}{k(k+1)(2k+1)} $
$= 6\sum_{k = 1}^{\infty} \left(\,\right. \frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}-\frac{4}{2k+1} \left.\,\right) $
$= 6\left(\,\right. \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}+\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k+1}-4\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2k+1} \left.\,\right) $
$= 6\left(\,\right. \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}+\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k+1}-2\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k+(1/2)} \left.\,\right)$
$ = 6\left(\,\right. \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}+\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k+1}-2\left(\,\right. -\gamma -\psi (\frac{3}{2})+\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k} \left.\,\right)\left.\,\right) (โดยการให้ x = \frac{1}{2} ) $
$=6\left(\,\right. \sum_{k = 1}^{\infty}\left(\,\right. \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}\left.\,\right) +2\gamma +2\psi (\frac{3}{2} )\left.\,\right) $
$=6\left(\,\right. -1+2\gamma +2\psi (\frac{3}{2})\left.\,\right) (โดยการใช้ Telescope Sum) $
$=6\left(\,\right. -1+2\gamma +2{\psi}^{(0)} (\frac{3}{2})\left.\,\right) $
ซึ่งก็ได้คำตอบตรงกับ Mathematica ที่ตอบออกมา ต่อไปก็ทำการ Simplify อีกครั้งโดยเข้าสูตรลดรูป ดังนี้



$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{6}{k(k+1)(2k+1)} $
$=6\left(\,\right. -1+2\gamma +2\psi (\frac{3}{2})\left.\,\right)$
$=6\left(\,\right. -1+2\gamma +2 \left(\,\right. -\gamma - 2ln(2) + \sum_{k = 1}^{1}\frac{2}{2k-1} \left.\,\right) \left.\,\right) (โดยการให้ n = 1)$
$=6\left(\,\right. -1+2\gamma +2 \left(\,\right. -\gamma - 2ln(2) + 2 \left.\,\right) \left.\,\right) $
$=6(3-4ln(2))$
$=6(3-2ln(4))$
$=18-12ln(4)$
ซึ่งก็เป็นคำตอบของ Mathematica เมื่อทำการ FullSimplify นั่นเอง...

เราจะพบว่า Mathematica จะใช้สูตรที่เป็น Generalization เสียเป็นส่วนใหญ่ เราจึง Chk คำตอบจากการ Solve มือค่อนข้างยาก เพราะเป็นลักษณะการ Solve ที่เป็นพื้นฐาน เนื่องจาก Mathematica ไม่สนใจวิธีการคิด การคำนวณ จะสนใจเฉพาะคำตอบเท่านั้น เพื่อนำไปประยุกต์ใช้ต่อไป

การจะทำให้ Mathematica คำนวณในลักษณะวิธีทำในลักษณะ Basic ที่พวกเราเรียนนั้น ก็เลยยากมากกว่าการนำสูตรมาแทนค่ากลับไปกลับมาเสียอีก บางคนไม่เข้าใจวิธีการคิดใน Mathematica จึงทำให้งานวิจัยลักษณะ Step by Step ดูด้อยคุณค่าไปเลย... สามารถดูวิธีการคำนวณแบบ Step by Step ในเรื่องอนุพันธ์ อินทิกรัล ฯลฯ ได้ที่ สารสนเทศในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ เชิญคลิกเยี่ยมชม...

[Anonymous314]

ผมใช้ Mathematica 7 ครับ
ขอบคุณ คุณชายน้อย มากนะครับ ทำให้ผมได้รู้อะไรหลาย ๆ อย่างมากขึ้นเลยครับ

[gon]

ถ้าเป็นได้ ผมอยากเห็นวิธีคิดของคุณชายน้อยว่าคิดแบบ Improper Integral คิดอย่างไรด้วยครับ

แนวคิดพวกนี้ผมเคยดูในหนังสือ Problem-solving Through Problems เกี่ยวกับ Abel's Limit theorem ส่วนวิธีคิดแบบที่ใส่ซิกมาสลับกับเครื่องหมายอินทิเกรตนี้ ถ้าจำไม่ผิด ผมจำมาจากวิธีคิดของคุณ warut นานมาแล้วครับ ซึ่งเมื่อผมลองเอาไปคิดขยายต่อและบันทึกลงในสมุดบันทึกของผม (ตอนนี้หาไม่เจอ) แล้วลองตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์ตอนนั้นไม่เจอที่ผิด คำถามนี้จึงทำให้ผมรู้ข้อบกพร่องเพิ่มขึ้น

อ้อ. เว็บ http://www.mathcalc.mju.ac.th/ ผมเข้าด้วย firefox ไม่ได้ครับ

Your Browser or Version or Screen Area was not correct.

ของอภัยโปรแกรมหรือรุ่นของโปรแกรมหรือขนาดของจอภาพของท่านไม่สอดคล้อง

Best Browser : Microsoft Internet Explorer

Best Screen Area : 800 X 600 Pixel or Higher

Best Version : 5.0 or Above

Best Opeating System : Windows 98 or Above

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ถ้าเป็นได้ ผมอยากเห็นวิธีคิดของคุณชายน้อยว่าคิดแบบ Improper Integral คิดอย่างไรด้วยครับ

แนวคิดพวกนี้ผมเคยดูในหนังสือ Problem-solving Through Problems เกี่ยวกับ Abel's Limit theorem ส่วนวิธีคิดแบบที่ใส่ซิกมาสลับกับเครื่องหมายอินทิเกรตนี้ ถ้าจำไม่ผิด ผมจำมาจากวิธีคิดของคุณ warut นานมาแล้วครับ ซึ่งเมื่อผมลองเอาไปคิดขยายต่อและบันทึกลงในสมุดบันทึกของผม (ตอนนี้หาไม่เจอ) แล้วลองตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์ตอนนั้นไม่เจอที่ผิด คำถามนี้จึงทำให้ผมรู้ข้อบกพร่องเพิ่มขึ้น

อ้อ. เว็บ http://www.mathcalc.mju.ac.th/ ผมเข้าด้วย firefox ไม่ได้ครับ

Your Browser or Version or Screen Area was not correct.

ของอภัยโปรแกรมหรือรุ่นของโปรแกรมหรือขนาดของจอภาพของท่านไม่สอดคล้อง

Best Browser : Microsoft Internet Explorer

Best Screen Area : 800 X 600 Pixel or Higher

Best Version : 5.0 or Above

Best Opeating System : Windows 98 or Above

ครับเข้าไม่ได้ครับ firefox แต่ IE เข้าได้ครับ
สงสัยยังไม่ Support firefox

เพราะคงต้องนั่งแก้นั่นแก้นี่มากมายครับ