Mathematical problem from job interview

[suan123]

คำถามที่ผมเจอตอน interview อะคับ ใครมีไอเดียดีๆ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

1. How many digits does 100! have ?
2. Which one is biggher $\Pi ^{e}$ vs $e^{\Pi}$
3. $$\int_{0}^{\infty}\ {e^{-(u + \frac {1}{u})^2}}du$$

[t.B.]

ข้อแรกใช้ log หา characteristic+1=จำนวนหลัก และถ้าไม่อยากคำนวน log(100!) ตรงๆก็แปลงเป็น ln(100!)/ln(10) แล้วใช้ Strilling's approximation หา ln(100!) ก็ได้นะครับ

ข้อสองผมเปรียบเทียบ $ln(\pi ^e) = e\times ln(\pi )$ กับ $ln(e^\pi )=\pi $ แทน (เนื่องจาก ln เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ผลที่ได้เลยไม่เปลี่ยน)
แล้วหา
$ln(\pi \times \frac{e}{e} )=ln(\frac{\pi }{e})+1 \approx ln(\frac{3.14}{2.72} ) + 1=ln(1+0.154) +1 $
แล้วกระจายอนุกรม $ln(1+x)=\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} ; |x|\leqslant 1 $ กระจายออกมา สัก 3-4 พจน์ก็น่าจะพอประมาณค่า ln(1+0.154) ได้แล้วนะครับ

ส่วนข้อสุดท้ายรอผู้รู้ท่านอื่นมาตอบแทนละกันนะครับ

[suan123]

วิธีนี่ไม่ work ตอน interview ครับ เพราะถ้าผมจะประมาณค่า log คงต้องใช้เครื่องคิดเลขอยู่ดี

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

วิธีนี่ไม่ work ตอน interview ครับ เพราะถ้าผมจะประมาณค่า log คงต้องใช้เครื่องคิดเลขอยู่ดี sweat:

ใช้เครื่องคิดเลขได้ข้อไหนบ้างครับ ถ้าข้อสองใช้เครื่องคิดเลขได้ผมว่าก็กดไปตรงๆเลยดีกว่า

[suan123]

ใช้ไม่ได้สักข้อครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

ใช้ไม่ได้สักข้อครับ

งั้นก็คงต้องตอบติด ln ไปอะครับ

[suan123]

คือผมไม่มีไอเดียกะข้อแรก ขัอสองผมทำได้แต่คิดว่าผู้รู้ทั้งหลายท่านคงมีวิธีที่ดีกว่า ผมเลยกลัวปล่อยไก่

[t.B.]

ข้อ 3 นะครับ

จากโจทย์ กระจายออกมาเป็น $e^{-2} \int_{0}^{\infty}\, e^{-(u^2+\frac{1}{u^2})} du $

ให้ $x=\frac{1}{u^2} แล้ว dx=-\frac{2}{u^3} du$

คิดเฉพาะพจน์ integral จะได้

$ \int_{0}^{\infty}\, e^{-x} \frac{e^\frac{-1}{x} }{2x^{3/2}} dx$

$\frac{\Gamma (0.5)}{2} \times \int_{0}^{\infty}\, e^{-x} \frac{1}{\Gamma (0.5)} \frac{e^\frac{-1}{x} }{x^{3/2}} dx$

ถ้าอ้างการ parametization ตาม http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-gamma_distribution
จะได้ว่า integral เหมือนกับค่า expectation $E[e^{-x}]$ ของตัวแปรสุ่ม X ที่มีการแจกแจงเป็น inverse gamma distribution $(\alpha =0.5, \beta =1)$

และ $E[e^{-x}]$ ก็คือ Moment generating function ที่ t=-1 นั่นเอง ซึ่งก็มีสูตรใน wikipedia ให้แล้วด้านขวา

จะได้ integral ตัวแรกสุดเป็น

$\frac{e^{-2} \Gamma (0.5)}{2} \times M_X(-1)$
$\frac{e^{-2} \Gamma (0.5)}{2} \times \frac{2}{\Gamma (0.5)} K_\alpha (2)$
$\frac{e^{-2} \sqrt{\pi } }{2} \times \frac{2}{\sqrt{\pi } } K_{0.5} (2)$

โดยที่ $K_{0.5} (2)$ คือ modified Bessel function for 2nd kind (สนใจอ่านเพิ่มได้ที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function)
ซึ่งมีเอกลักษณ์
$K_{0.5} (x) = \sqrt{\frac{\pi }{2} } e^{-x} (x^{-0.5}) ; x>0$
ดังนั้น ที่ x=2
$K_{0.5} (2) = \sqrt{\frac{\pi }{2} } e^{-2} 2^{-0.5} $

แทนค่ากลับเข้าไปจะได้

$ \frac{e^{-2} \sqrt{\pi } }{2} \times \frac{2}{\sqrt{\pi } } \sqrt{\frac{\pi }{2} } e^{-2} 2^{-0.5} = e^{-4} 2^{-0.5} \sqrt{\frac{\pi }{2}} $

[suan123]

Very Very impressive !

I am going to show my work when i got back home because i have no Thai keyboard at my office.

[kongp]

ไม่ทราบว่าเวลาสัมภาษณ์มีเวลาจดใส่กระดาษ หรือ เอาคอมพิวเตอร์เข้าไปใช้ได้ด้วยหรือครับ คนตั้งโจทย์นี้คงหวังให้ตอบได้ง่ายๆ แบบคิดในใจ ไม่ใช่ตอบอย่างข้างบนโดยอาจจะ สังเกตุที่เทอม u+(1/u) แล้วแยกเคสเอา 0-1,1,1-infinity ก็จะประมาณค่าคำตอบได้ etc.

[suan123]

You will be given only pen and paper kub !
No calculator or computer