โจทย์แคลคูลัสค่ะ

[คน-อ่อน-เลข]

ช่วยหน่อยนะคะ ขอบคุณมากค่ะ
ข้อที่ 3 ขณะที่ x=3 นะคะ

ปล.ขอโทษด้วยนะคะที่รูปเบลอมาก คือแบบว่ามันได้แค่นี้อ่ะค่ะ

[NaPrai]

ข้อแรก
พิจารณา $1)$ ถ้า $x>-3$ \begin{align*} f(x) &= \frac{2ax^2-5x+6ax-15}{x+3}= 2ax-5 \end{align*}
$2)$ ถ้า $x<-3$ \begin{align*} f(x) &= \frac{a(x^2-9)}{\sqrt{12-|x|}-3}= -{a(|x|+3)(\sqrt{12-|x|}+3}) \end{align*}
จาก $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $x=-3$ ทำให้ได้ว่า

$\lim_{x \rightarrow -3^-}f(x) = f(-3) = \lim_{x \rightarrow -3^+}f(x)$

นั่นคือ

$ -36a= b = -6a-5$

จากตรงนี้ได้คำตอบได้ว่า $a=\frac{1}{6}$ และ $b=-6$
ดังนั้น $ab=-1$

[tngngoapm]

ข้อนี้ก็น่าสนใจ.....ข้อไหนไม่รู้ที่ว่า a+b+c=180 ....ให้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของผลคูณabcเทียบกับb...
ตรงที่ว่าสามรถถามได้เป็นอีกมุมมองประยุกต์กับสามเหลี่ยมได้เช่น....
ถามว่าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีผลบวกของมุมที่ฐานต่อมุมยอดเป็น 1:2 แล้ว
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของผลคูณของมุมทั้งสามเทียบกับมุมใดมุมหนึ่งมีค่าเท่าใด...
กลับมาที่คำถามของน้องเจ้าของกระทู้....ไม่ควรรอช้าสร้างสมการออกมาเลย
....1)......$a+b+c=180$
.....2).....$\frac{a+b}{c} =\frac{1}{2} $
จากสองสมการรู้ค่า $b=-3$ หา $a=63,c=120$
จากสมการ 1)และ2)ดิฟทั้งสองข้างเทียบกับb
หา $\frac{da}{db} =-\frac{2}{3} $ และ $\frac{dc}{db}=\frac{2}{3} $
สุดท้ายดิฟ abc เทียบกับ b.....
ดิฟผลคูณ..... $\frac{d(abc)}{db} =bc\frac{da}{db}+ac+ab\frac{dc}{db}$
ก็น่าจะเห็นหนทางไปสู่คำตอบในที่สุด...ใช่ได้คำตอบ7674หรือไม่ครับถ้าคำตอบตรงกันก็น่าจะใช้ได้

[คน-อ่อน-เลข]

ขอบคุณทั้ง 2 ท่านมากค่าาา

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ข้อนี้ก็น่าสนใจ.....ข้อไหนไม่รู้ที่ว่า a+b+c=180 ....ให้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของผลคูณabcเทียบกับb...
ตรงที่ว่าสามรถถามได้เป็นอีกมุมมองประยุกต์กับสามเหลี่ยมได้เช่น....
ถามว่าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีผลบวกของมุมที่ฐานต่อมุมยอดเป็น 1:2 แล้ว
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของผลคูณของมุมทั้งสามเทียบกับมุมใดมุมหนึ่งมีค่าเท่าใด...
กลับมาที่คำถามของน้องเจ้าของกระทู้....ไม่ควรรอช้าสร้างสมการออกมาเลย
....1)......$a+b+c=180$
.....2).....$\frac{a+b}{c} =\frac{1}{2} $
จากสองสมการรู้ค่า $b=-3$ หา $a=63,c=120$
จากสมการ 1)และ2)ดิฟทั้งสองข้างเทียบกับb
หา $\frac{da}{db} =-\frac{2}{3} $ และ $\frac{dc}{db}=\frac{2}{3} $
สุดท้ายดิฟ abc เทียบกับ b.....
ดิฟผลคูณ..... $\frac{d(abc)}{db} =bc\frac{da}{db}+ac+ab\frac{dc}{db}$
ก็น่าจะเห็นหนทางไปสู่คำตอบในที่สุด...ใช่ได้คำตอบ7674หรือไม่ครับถ้าคำตอบตรงกันก็น่าจะใช้ได้

$\frac{dc}{db} = 0$ ไม่ใช่เหรอครับ คิดอะไรผิดหรือเปล่าครับ
//คำตอบข้อนี้เท่ากับ $66 \times 120 = 7920$ ด้วยครับ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

$\frac{dc}{db} = 0$ ไม่ใช่เหรอครับ คิดอะไรผิดหรือเปล่าครับ
//คำตอบข้อนี้เท่ากับ $66 \times 120 = 7920$ ด้วยครับ

น่าจะใช่ครับ $\frac{da}{db}$ น้าจะได้$(-1)$และ $\frac{dc}{db}=0$ ตอนคิดสดน่าจะตื่นเต้นไปหน่อย....พลาดอีกจนด้าย......
....ขอบคุณครับที่ช่วยแก้ไขหั้ย....

[NaPrai]

ข้อสอง มาคำนวณค่า $A$ กันก่อน
\begin{align*} A&=\lim_{n \to \infty}\frac{7^{n+1}+5^{n-2}}{3^{n+2}+7^{n-1}} \\&=\lim_{n \to \infty}\frac{7^{n+1}}{3^{n+2}+7^{n-1}} + \lim_{n \to \infty}\frac{5^{n-2}}{3^{n+2}+7^{n-1}}\\&=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{3^{n+2}}{7^{n+1}}+7^{-2}}+0 \\&=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{0+7^{-2}} \\&=49 \end{align*}
ต่อไปหาค่า $B$
\begin{align*} B&=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{4n+3}-\sqrt{4n+2}}{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+4}} \\&=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+4}}{\sqrt{4n+3}+\sqrt{4n+2}}\\&=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}}{\sqrt{4n}+\sqrt{4n}}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}
จากบรรทัดที่ 2 ไปยังบรรทัดที่ 3 ของข้อ $B$ สามารถทำเช่นนั้นได้เพราะ $\lim_{n \to \infty} \frac{an+b}{an}=1$ สำหรับค่าคงที่ $a, b$ ใด ๆ
ดังนั้น $\frac{1}{7}A-4B=5$

[NaPrai]

ข้อสี่ สำหรับค่า $\lim_{n \to \infty} a_n$ ทำแบบการหาค่า $B$ ในข้อสอง ซึ่งจะได้คำตอบคือ $\lim_{n \to \infty}a_n=\frac{1}{2}$
ต่อไปมาหาค่าของ $\lim_{n \to \infty}b_n$
\begin{align*}\lim_{n \to \infty}\frac{2n^2-3n+2}{\sqrt{n^4+2}} &= \lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{(2n^2-3n+2)^2}{n^4+2}} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{4n^4-12n^3+17n^2-12+4}{n^4+2}} \\&=2\end{align*}
จากบบรทัดที่ 2 มายัง 3 ใช้สมบัติของการหาค่าลิมิตของเศษส่วนพหุนาม โดยพิจารณาเพียงพจน์ที่มีดีกรีสูงสุด
ดังนั้น $\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n+2)=\frac{1}{2}-2+2=\frac{1}{2}$

[NaPrai]

สำหรับข้อสาม
ให้ $f(x)=y$
โดยบทนิยามจะได้ว่า \begin{align*} f^{'}(3)&=\lim_{i \to 0}\frac{\frac{1}{(3+i)^2+1}-\frac{1}{3^2+1}}{i}\\&=\lim_{i \to 0}\frac{-6i-i^2}{10i(i^2+6i+10)}\\&=\lim_{i \to 0}\frac{-6-i}{10(i^2+6i+10)}\\&=-\frac{3}{50}\end{align*}

[คน-อ่อน-เลข]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai

ข้อสี่ สำหรับค่า $\lim_{n \to \infty} a_n$ ทำแบบการหาค่า $B$ ในข้อสอง ซึ่งจะได้คำตอบคือ $\lim_{n \to \infty}a_n=\frac{1}{2}$
ต่อไปมาหาค่าของ $\lim_{n \to \infty}b_n$
\begin{align*}\lim_{n \to \infty}\frac{2n^2-3n+2}{\sqrt{n^4+2}} &= \lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{(2n^2-3n+2)^2}{n^4+2}} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{4n^4-12n^3+17n^2-12+4}{n^4+2}} \\&=4\end{align*}
จากบบรทัดที่ 2 มายัง 3 ใช้สมบัติของการหาค่าลิมิตของเศษส่วนพหุนาม โดยพิจารณาเพียงพจน์ที่มีดีกรีสูงสุด
ดังนั้น $\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n+2)=\frac{1}{2}-4+2=-\frac{3}{2}$

ลิมิต $b_n$ = 2 หรือเปล่าคะ

[NaPrai]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คน-อ่อน-เลข

ลิมิต $b_n$ = 2 หรือเปล่าคะ

อ้อใช่ครับ ผมคำนวณผิด 555