Improper Integral (new)

[first]

จงหาค่าของ $$\int_{-1}^1 \frac{e^x}{e^x-1} dx $$

[Suwiwat B]

น่าจะได้ 1 นะครับ ถ้าคิดไม่ผิด

[nooonuii]

ลู่ออกครับ

[Oriel]

$$\int_{-1}^{1} \frac{e^x}{e^x-1} \,dx = \lim_{z \to 0} (\int_{-1}^{z} \frac{e^x}{e^x-1} \,dx + \int_{z}^{1} \frac{e^x}{e^x-1} \,dx )$$
$$=\lim_{z \to 0} (\int_{-1}^{z} \frac{1}{u}\,du + \int_{z}^{1} \frac{1}{u}\,du) $$
$$=\lim_{z \to 0} (\ln|u||^{z}_{-1} + \ln|u||^{1}_{z})$$
$$=\lim_{z \to 0} (\ln|{e^x-1}||^{z}_{-1} + \ln|{e^x-1}||^{1}_{z})$$
$$=\lim_{z \to 0} (\ln{(e^z-1)} - \ln{(1-e^{-1})} + \ln{(e-1)} - \ln{(e^{z}-1)})$$
$$=\ln \frac{e-1}{1-e^{-1}}=1$$

ผิดตรงไหนอะครับ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

$$\int_{-1}^{1} \frac{e^x}{e^x-1} \,dx = \lim_{z \to 0} (\int_{-1}^{z} \frac{e^x}{e^x-1} \,dx + \int_{z}^{1} \frac{e^x}{e^x-1} \,dx )$$
$$=\lim_{z \to 0} (\int_{-1}^{z} \frac{1}{u}\,du + \int_{z}^{1} \frac{1}{u}\,du) $$
$$=\lim_{z \to 0} (\ln|u||^{z}_{-1} + \ln|u||^{1}_{z})$$
$$=\lim_{z \to 0} (\ln|{e^x-1}||^{z}_{-1} + \ln|{e^x-1}||^{1}_{z})$$
$$=\lim_{z \to 0} (\ln{(e^z-1)} - \ln{(1-e^{-1})} + \ln{(e-1)} - \ln{(e^{z}-1)})$$
$$=\ln \frac{e-1}{1-e^{-1}}=1$$

ผิดตรงไหนอะครับ?

ตอนแรกผิดที่บรรทัดที่ $2$ เพราะถ้าเปลี่ยนตัวแปรลิมิตการอินทิเกรตจะต้องเปลี่ยนตาม

แต่กลับมาถูกอีกครั้งตรงบรรทัดที่ $4$ ถ้ามองโดยรวมผิดตั้งแต่บรรทัดแรกครับ

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบต้องแยกคิดทีละส่วนและจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อแต่ละส่วนลู่เข้า

เอาสองส่วนมาคิดรวมกันไม่ได้ ถ้าเอามาคิดรวมกันก็เหมือนกับการหาปริพันธ์จำกัดเขตธรรมดา

คือเอาลิมิตบนลบกับลิมิตล่าง ส่วนที่อยู่ตรงกลางก็จะหักล้างกัน แต่ทำแบบนี้ไม่ได้กับปริพันธ์ไม่ตรงแบบครับ