ข้อสอบ Principle Math

[ครูนะ]

U(f(xi)) = f(U(xi))

ผลผนวก i = 1 ถึง n ของฟังก์ชัน f(xi) เท่ากับฟังก์ชัน f ของผลผนวก xi ที่ i = 1 ถึง n

รบกวนผู้รู้พิสูจน์ให้หน่อยครับ ขออย่างละเอียดครับ
ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

$f\Big(\bigcup X_i\Big)=\bigcup f(X_i)$

เมื่อ $X_i$ เป็นเซต แบบนี้หรือเปล่าครับ

ถ้าแบบนี้พิสูจน์แค่สองเซตก็พอครับ จากนั้นก็ขยายโดยใช้ induction

จะพิสูจน์ว่า

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

ต้องพิสูจน์ว่าทั้งสองเซตเป็นสับเซตของกันและกัน

พิสูจน์ $f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup f(B)$

ให้ $y\in f(A\cup B)$

จะได้ว่ามี $x\in A\cup B$ ซึ่งทำให้ $f(x)=y$

ถ้า $x\in A$ จะได้ $y=f(x)\in f(A)$

ถ้า $x\in B$ จะได้ $y=f(x)\in f(B)$

ดังนั้น $y\in f(A)\cup f(B)$

พิสูจน์ $f(A)\cup f(B) \subseteq f(A\cup B)$

ใช้คุณสมบัติที่ว่า ถ้า $X\subseteq Y$ แล้ว $f(X)\subseteq f(Y)$

พิสูจน์ได้ไม่ยากครับ ลองฝึกเขียนดู

เนื่องจาก $A\subseteq A\cup B$ จะได้ $f(A)\subseteq f(A\cup B)$

เนื่องจาก $B\subseteq A\cup B$ จะได้ $f(B)\subseteq f(A\cup B)$

ดังนั้น $f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup B)\cup f(A\cup B) = f(A\cup B)$

ที่เหลือลองขยายโดยใช้ induction ดูครับ ไม่ยาก

[ครูนะ]

ขอบคุณมากครับ