โจทย์

[cZech_kUnG]

1. หาผลบวกถึงเทอม n ของ

0,-2,0,44,280,........


2 ให้ $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$, $z_6$ เป็นรากที่7ของ1 ที่ไม่เท่ากับ1

หาค่าของ(1- $z_1$)...(1-$z_6$)

[-InnoXenT-]

2.

$z_1,z_2,z_3,...,z_6$ เป็นรากของสมการ $x^7 = 1$

ดังนั้น

$(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = x^7-1$

$(x-1)(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)(x-z_6) = x^7-1$

เนื่องจาก $x \not= 1$ ดังนั้น

$(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)(x-z_6) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

แทนค่า $x=1$ ก็จะได้ $(1-z_1)(1-z_2)(1-z_3)(1-z_4)(1-z_5)(1-z_6) = 7$

[cZech_kUnG]

เฉลยข้อหนึ่งนะครับ

1. หาผลบวกถึงเทอม n ของ

0,-2,0,44,280,........

$$[0+(-2)+0+44+280+...] +\sum_{n = 1}^{\infty}n^3 - \sum_{n = 1}^{\infty}n^3$$
$$[(0+1)+(-2+8)+(0+27)+(44+64)+(280+125)+...] -\sum_{n = 1}^{\infty}n^3$$
$$[1+6+27+108+405+...]-\sum_{n = 1}^{\infty}n^3$$
$$[1+(3x2)+(3^2x3)+(3^3x4)+(3^4x5)...]-\sum_{n = 1}^{\infty}n^3$$
ก้อนหน้าเป็นอนุกรมผสมปกติไม่ขอแสดงวิธีนะครับผลลัพธ์จะได้
$$\frac{n(3^n)}{2}-\frac{3^n-1}{4} -[\frac{n(n+1)}{2}]^2$$

[Αρχιμήδης]

ให้ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนคงที่สองจำนวน นิยามลำดับ $a_{n}$ ให้ $a_{1}$ = $1$ และสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ $a_{n+1}$ = $a_{n}+cb^{n}$ ถ้าลำดับ $a_{n}$ มี $lim = 2$ และ $a_{3}$=$\frac{3}{2}$ แล้วค่าของ $\left|\,\right. c-2b\left.\,\right|$ มีค่าเท่าใด

[cZech_kUnG]

$a_{n+1}=a_n+cb^n$
$a_2= a_1+cb = 1+cb$
$a_3=a_2+cb^2=1+cb+cb^2------(1)$
. . .
$a_n=1+cb+cb^2+...+cb^{n-1}$
แต่ $ lima_n = 2$
จะได้ว่า $cb+cb^2+... = 1-------(2)$
หลังจากนั้นแก้สมการ 1 กับ 2 โดยแทนค่า $a_3$ ตามที่โจทย์กำหนด ก็จะได้ค่า b และ c ละครับ