ช่วยผมพิสูจน์เรื่องอนุกรมทีครับ

[suttikeat]

คือการบ้านที่อาจารย์ให้มา ผมเข้าใจว่ามันสัมพันธ์กับอนุกรม แต่ควรจะพิสูจน์ยังไงดี
นั่งคิดหลายรอบมากแต่ยังคิดไม่ออกเลยครับ
โดยเฉพาะข้อ3ผมไม่เข้าใจว่า d มาจากไหน dมันคือผลต่างไม่ใช่หรอครับ และอีกอย่าง ทำไมมี a1ตัวหลายตัว ทั้งที่ควรจะเป็น a1 a2 a3 โจทย์ผิดหรือผมไม่เข้าใจกันแน่

(คืออาจารย์เขาทิ้งโจทย์ให้หัวหน้าห้องน่ะครับ เขาไม่ได้มาอธิบายเอง)
ขอบคุณครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suttikeat

โดยเฉพาะข้อ3ผมไม่เข้าใจว่า d มาจากไหน dมันคือผลต่างไม่ใช่หรอครับ และอีกอย่าง ทำไมมี a1ตัวหลายตัว ทั้งที่ควรจะเป็น a1 a2 a3 โจทย์ผิดหรือผมไม่เข้าใจกันแน่

$a_2 = a_1 +d, a_3 = a_1 + 2d$ เค้าต้องการให้พิสูจน์สูตรของอนุกรมครับ

[-[B]a$ic'z~*]

7 + 77 +777 +... + 777...7

$ = \frac{7}{9}\left[9 + 99 + 999 + 999.. 9\,\right]$

$ = \frac{7}{9}\left[(10-1) + (10^2-1) + (10^3 -1)+...(10^n -1)\,\right]$

$ = \frac{7}{9}\left[(10+10^2+10^3+...+10^n) - (1+1+1+...+1)\,\right]$

$ = \frac{7}{9} \left[\frac{10(10^n-1)}{10-1} - n \,\right]$

$ = \frac{70}{81}(10^n - 1 ) - \frac{7n}{9}$

[yellow]

2)

$a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + ... + a_1 r^{n-2} + a_1 r^{n-1}$

$a_1 ( 1 + r + r^2 + ... + r^{n-2} + r^{n-1})$

คูณด้วย $\frac{1-r}{1-r}$

$\frac{a_1 ( (1-r) + (r - r^2) + (r^2 - r^3) + ... + (r^{n-2} - r^{n-1}) + (r^{n-1} - r^n))}{1-r} $

$\frac{a_1 (1 - r^n)}{1-r} $

[-[B]a$ic'z~*]

ข้อ 2) จากโจทย์จะได้ว่า

$S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + ... + a_1r^{n-1}$ _____(1)

$rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3+ ... + a_1r^{n-1}$ _____(2) ( นำ r คูณตลอด)

$(1)-(2) = (1-r)S_n = a_1 - a_1r^n$

$ \therefore S_n = \frac{a1(1-r^n)}{1-r}$

[-[B]a$ic'z~*]

4) เราลองหาผลบวกแต่ละวงเล็บเลย จะได้ว่า

1 + 4 + 9 + 16 + ... + n^2

ซึ่งก็คือ $$\sum_{i = 1}^{n}i^2 = \frac{n}{6}(n+1)(2n+1)$$

[yellow]

3)

$a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d + ... + a_1 + (n-1)d$

$n a_1 + ( 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) d$

$n a_1 + ( \frac{n(n-1)}{2} )d $

$\frac{2n a_1 + n (n - 1) d}{2} $

$\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1) d] $