IMO Shortlists 2007 Inequality

[Anonymous314]

A1. Given a sequence $a_1,a_2,...a_n$ of real numbers. For each $i$ $(1 \le i \le n)$ define
$d_i = \max \{ a_j :1 \le j \le i\} - \min \{ a_j :1 \le j \le n\} $
and let
$d = \max \{ d_i :1 \le i \le n\} $
(a) Prove that for arbitrary real number $x_1 \le x_2 \le ... \le x_n$
$\max \{ |x_i - a_i |:1 \le i \le n\} \ge {d \over 2}$...(1)
(b) Show that there exists a sequence $x_1 \le x_2 \le ... \le x_n$ of real numbers such that we have equality in (1)

[Anonymous314]

A3. Let $n$ be a positive integer, and let $x$ and $y$ be positive real numbers such that $x^n+y^n=1$
Prove that
$\left( {\sum\nolimits_{k = 1}^n {{{1 + x^{2k} } \over {1 + x^{4k} }}} } \right)\left( {\sum\nolimits_{k = 1}^n {{{1 + y^{2k} } \over {1 + y^{4k} }}} } \right) < {1 \over {(1 - x)(1 - y)}}$

[Anonymous314]

A6. Let $a_1,a_2,...,a_{100}$ be nonnegative real number such that ${a_1}^2+{a_2}^2+...{a_{100}}^2=1$.
Prove that
${a_1}^2a_2+{a_2}^2a_3+...+{a_{100}}^2a_1<\frac{12}{25}$
ปล. ที่จริง LHS น้อยกว่า $\sqrt{2}/3$

[dektep]

ปีนี้มีโจทย์จากไทยที่ได้เป็น shortlist ด้วยครับ

[Anonymous314]

ข้อไหนเหรอครับ

[owlpenguin]

ในนี้มีเป็น version PDF พร้อมเฉลยด้วยครับ
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewto...cfc0d4#1188019
ในนี้บอกด้วยว่าโจทย์มาจากประเทศไหนด้วยครับ

[Spotanus]

หลังๆนี้ อสมการประเภท HojooLean Inequality ลดน้อยลงนะครับ

[RoSe-JoKer]

ผมคิดว่าผมเข้าใจแล้วครับ คงหมายถึงพวกที่อสมการ 3 ตัวแปร กระจายบึ้มๆแล้วก็ออกสินะครับ...

[Anonymous314]

ดูข้อ A6 สิครับ อะไรคือ Lagrange Multiplier ครับ และใช้อย่างไรครับ

[nooonuii]

Lagrange's multiplier เป็นวิธีทางแคลคูลัสครับ