ช่วยหน่อยคับ : Algebraic Identity

[นนท์]

ให้ $\frac{x}{y+z} =a$,$\frac{y}{x+z} =b$,$\frac{z}{x+y} =c$,จงพิสูจน์ว่า
$\frac{1}{abc} -[\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}]=2$

[nooonuii]

ใช้เอกลักษณ์

$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$

และ

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+3$

[นนท์]

ทำได้แล้วคับ ขอบคุณมากๆๆครับ.

[นนท์]

อีกข้อนึงคับ จงพิสูจน์
$1-\frac{1}{4\times2} +\frac{1\times 3}{4\times8 }\times \frac{1}{2^2} -\frac{1\times3\times5}{4\times8\times12}\times\frac{1}{2^3} +...$=$\frac{2}{5} \times\sqrt{5} $

[nooonuii]

ลองกระจายอนุกรมเทเลอร์ของ $\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}$ ดูสิครับ จะให้ $x$ เป็นอะไรลองดูที่คำตอบครับ

[นนท์]

ขอบคุณครับ อีกสักข้อครับ
$a+b = 6$
$ax+by = 10$
$ax^2+by^2 = 24$
$ax^3+by^3 = 62$
จงหาค่าของ $ax^4+by^4 = ?$ โดยกำหนดให ้$x,y$ เป็นจำนวนจริง
ขอบคุณคับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นนท์

ขอบคุณครับ อีกสักข้อครับ
$a+b = 6$
$ax+by = 10$
$ax^2+by^2 = 24$
$ax^3+by^3 = 62$
จงหาค่าของ $ax^4+by^4 = ?$ โดยกำหนดให ้$x,y$ เป็นจำนวนจริง
ขอบคุณคับ

พิจารณา $(ax^n+by^n)(x+y)$ ครับ

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นนท์

ให้ $\frac{x}{y+z} =a$,$\frac{y}{x+z} =b$,$\frac{z}{x+y} =c$,จงพิสูจน์ว่า
$\frac{1}{abc} -[\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}]=2$

เเทนค่า$a = \frac{x}{y+z}$,$b = \frac{y}{x+z}$,$c = \frac{z}{x+y}$จะได้ว่า
$\frac{1}{abc} = \frac{(y + z)(x + z)(x + y)}{xyz}
= \frac{x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2 + 2xyz}{xyz}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
= \frac{y + z}{x} + \frac{z + x}{y} + \frac{x + y}{z}
= \frac{yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y)}{xyz} = \frac{x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + xz^2 + yz^2}{xyz}$
$\therefore \frac{1}{abc} -[\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}]=2$