การจัดเรียงแบบว่า ช่วยผมคิดหน่อยนะครับ

[ฝันบรรเจิด]

1) มีหนังสืออยู่ 9 เล่ม ถ้าต้องการจัดเรียงให้หนังสือ 3 เล่มพิเศษไม่ติดกันโดยเรียงทั้ง 9 เล่ม จะเรียงได้กี่วิธี

วิธีที่1 >>>> (6!)(P7,3) เรียง 6อันก่อนแล้วแทรก ใน 7 ช่องว่างที่เหลือ

วิธีที่2 >>>> ใช้หลักการ ไม่ให้ 3 เล่มพิเศษติดกัน= 9! - (3!)(7!) {จัดเรียงทั้ง 9เล่ม - จัดเรียง 3 เล่มติดกัน}
ปัญหาคือโดยหลักการน่าจะถูก แต่ทำไมเวลาหาคำตอบออกมาไม่เท่ากัน อะไรคือข้อผิดพลาดครับ

2) เรียงเลข 1,2,3,4,5 ต้องการเรียงโดยให้เลขคี่ 2 ตัวติดกันได้กี่วิธี แสดงวิธีคิดด้วยนะครับ (ผมคิดได้ 84 วิธีครับ แยกได้ 9 กรณี ใช้ไม่ได้ 2 กรณี อยากทราบว่ามีวิธีที่เร็วกว่า แยกกรณีไหมครับ )

3) จากคำว่า MISS เรียงได้กี่วิธีที่ S กับ I ไม่ติดกัน (ข้อนี้ขอวิธีคิดหลายๆวิธี นะครับ)

[tunococ]

มีคนไปตอบให้ในห้องหว้ากอแล้วครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ที่ผมเข้าใจจากโจทย์นะครับ คือ มันแตกต่างกันหมดเลย 9 เล่ม แล้วก็มี 3 เล่ม เป็น กลุ่มที่พิเศษครับ
วิธีที่ 1
เรียง 6 เล่มที่ ไม่พิเศษก่อน ได้ 6! วิธี
แล้วมันก็จะมีช่องว่าง 7 ช่องข้างๆ แต่ละตัว
_O_O_O_O_O_O_ (สมมติว่า O คือหนังสือที่แตกต่างกันนะครับ)
เอาหนังสือพิเศษไปวาง ได้ \(\displaystyle{{7 \choose 3}} \) วิธี
แล้วก็ ใน หนังสือพิเศษ 3 ตัวนั้น เรียงสับเปลี่ยนกันเองได้ 3! วิธี

ดังนั้น คำตอบคือ \( \displaystyle{6! \times {7 \choose 3}\times 3!=\ 151200\ วิธี} \)

วิธีที่ 2
ก็ จะคิดในกรณีที่มันติดกันนะครับ

• ติดกัน 3 ตัว
  ก็ คิดว่า อันที่พิเศษ 3 อันเป็น 1 กลุ่ม ดังนั้น เราก็เรียงสับเปลี่ยนกันได้ 7! วิธี
  แล้วก็ในกลุ่มสามารถสลับกันได้ 3! วิธี
  จะได้ \( \displaystyle{7! \times 3!}\) วิธี
• ติดกัน 2 ตัว
  ตัวที่ติดกันอยู่ริม
  
  
  ซึ่งมีทั้งหมด 2 ริม
  อีกตัวต้องไม่เลือกตัวที่อยู่ติดกัน ไม่งั้นจะเป็นกรณีที่ติดกัน 3 ตัว ก็มีทั้งหมด 6 วิธี
  ในกลุ่มเรียงกันเองได้ 3! วิธี
  แล้วก็ อันไม่พิเศษเรียงได้ 6! วิธี
  จะได้ \( \displaystyle{2 \times 6 \times 3! \times 6!}\)
  
  ตัวที่ติดกันไม่อยู่ริม
  
  ซึ่งมีทั้งหมด 6 ที่ (ที่ไม่ใช่ริม)
  อีกตัวต้องไม่เลือกตัวที่อยู่ติดกัน ไม่งั้นจะเป็นกรณีที่ติดกัน 3 ตัว ก็มีทั้งหมด 5 วิธี
  ในกลุ่มเรียงกันเองได้ 3! วิธี
  แล้วก็ อันไม่พิเศษเรียงได้ 6! วิธี
  จะได้ \( \displaystyle{6 \times 5 \times 3! \times 6!}\)เอาไปหักออกจากทั้งหมดคือ 9!

รวมกรณีที่ไม่ติดกันได้ \(\displaystyle{9! -(7! \times 3!)-(2 \times 6 \times 3! \times 6!)-(6 \times 5 \times 3! \times 6!)\ =\ 151200\ วิธี} \)

[ฝันบรรเจิด]

จากข้อ 1 อะครับ ถ้าถามใหม่ มีหนังสือ 9 เล่ม มี 4 เล่มพิเศษ และต้องการเรียงไม่ให้ 4 เล่มพิเศษติดกันต้องแก้แบบไหนครับ

วิธีที่1 >>>> ก็คิดแบบเดิม (4!)(5!)(p6,4)

วิธีที่2 >>>> คิดโดยหลักที่ว่า= เรียง9แบบ - ติดกัน4ตัว - ติดกัน 3ตัว - ติดกัน 2 ตัว {มีสองกรณีคือ สองตัวกับสองตัว หรือ สองตัวกับหนึ่งตัวกับหนึ่งตัว}(น่าจะถูก)
... = 9!-(4!)(5!)-(4!)(5!)(P6,2)-(4!)(5!)(P6,2)-(4!)(5!)(P6,3) (น่าจะผิด)

อยากให้ดูว่าอันไหนผิดอันไหนถูก แล้วก็ผิดถูกแบบไหน อธิบายด้วยนะครับ

[gon]

ข้อ 1 ใช้วิธีตรงดีแล้วครับ ถ้าใช้วิธีอ้อมจะผิดเอาได้ง่าย ๆ

วิธีตรง :
ขั้นที่ 1 : จัดเรียงหนังสือปกติทำได้ 5! วิธี
ขั้นที่ 2 : แทรกหนังสือที่ไม่ต้องการให้อยู่ติดกันทำได้ 6 x 5 x 4 x 3 วิธี
โดยหลักการคูณจึงทำได้ (5!)(6 x 5 x 4 x 3) = 43200 วิธี

วิธีอ้อม
"จำนวนวิธีในการจัด = จำนวนวิธีทั้งหมด - จำนวนวิธีที่หนังสือติดกัน 4 เล่ม - จำนวนวิธีที่หนังสือติดกัน 3 เล่ม - จำนวนวิธีที่หนังสือติดกัน 2 เล่ม"

จำนวนวิธีที่หนังสือติดกัน 4 เล่ม
ขั้นที่ 1 : มัดหนังสือทั้งสี่เล่มติดกัน จากนั้นเรียงกับอีก 5 เล่มทำได้ 6! วิธี
ขั้นที่ 2 : สลับหนังสือทั้งสีเล่มท่ติดกันทำได้ 4! วิธี
โดยหลักการคูณจึงทำได้ 4! x 6! วิธี

จำนวนวิธีที่หนังสือติดกัน 3 เล่ม
ขั้นที่ 1 : เลือกว่าจะเอาหนังสือ 3 เล่มใดจาก 4 เล่มที่จะติดกันทำได้ C(4, 3) วิธี
ขั้นที่ 2 : สลับหนังสือทั้งสามเล่มที่ติดกัน กับหนังสือปกติอีก 5 เล่มทำได้ 6! วิธี
ขั้นที่ 3 : สลับหนังสือพิเศษทั้งสามเล่มที่ติดกันทำได้ 3! วิธี
ขั้นที่ 4 : แทรกอีก 1 เล่มที่เหลือไปยังช่องว่างที่ไม่ติดกับเล่มพิเศษที่ติดกันอยู่ แทรกได้ 5 วิธี
โดยหลักการคูณจึงทำได้ C(4, 3) x 6! x 3! x 5 = 5 x 4! x 6! วิธี

จำนวนวิธีที่หนังสือติดกัน 2 เล่ม
ขั้นที่ 1 : เลือกว่าจะเอาหนังสือ 2 เล่มใดจาก 4 เล่มที่จะติดกันทำได้ C(4, 2) วิธี
ขั้นที่ 2 : สลับหนังสือทั้งสองเล่มที่ติดกัน กับหนังสือปกติอีก 5 เล่มทำได้ 6! วิธี
ขั้นที่ 3 : สลับหนังสือพิเศษทั้งสองเล่มที่ติดกันทำได้ 2! วิธี
ขั้นที่ 4 : แทรกหนังสือที่เหลือเล่มแรกลงช่องว่างที่ไม่ติดกับเล่มที่ติดกัน แทรกได้ 5 วิธี
ขั้นที่ 5 : แทรกหนังสือที่เหลือเล่มสุดท้ายลงช่องว่างที่ไม่ติดกับเล่มที่ติดกัน แทรกได้ 5 วิธี (ลงช่องเดียวกับช่องแรกได้)
โดยหลักการคูณจึงทำได้ C(4, 2) x 6! x 2! x 5 x 5 = 300 x 6! วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีที่หนังสือทั้งสี่เล่มจะไม่ติดกันเลยทำได้ 9! - (4! x 6!) - (5 x 4! x 6!) - (300 x 6!) = 43200 วิธี

จะเห็นได้ว่าหากต้องการฝึกฝนแนวคิดก็หัดลองคิดกลับกันทำแบบยาวแบบนี้หน่อย ๆ ก็ดี แต่ถ้าไม่ต้องการปวดหัวมากทำแบบแรกก็ง่ายที่สุดแล้ว

[ฝันบรรเจิด]

ติดกัน 2 ตัว {มีสองกรณีคือ สองตัวกับสองตัว หรือ สองตัวกับหนึ่งตัวกับหนึ่งตัว}

อยากทรายว่าถ้าต้องการรู้ว่า
1.กรณี ติดกันสองเล่ม กับ สองเล่ม จะได้กี่วิธี
2.กรณี ติดกันสองเล่ม กับ หนึ่งเล่ม กับ 1 เล่ม จะได้กี่วิธีครับ

[tunococ]

คิดงี้ถูกป่าวเอ่ย ...

กรณี 2-2

1. เรียง 5 เล่มก่อน ได้ 5! วิธี
2. มี 6 รู เสียบ 2 ที่ ได้ \(\frac{6 \times 5}{2} = 15\) วิธี
3. เล่มที่เอาไปเสียบ สลับตำแหน่งกันได้ 4! วิธี

รวม \(= 5! \times 15 \times 4! = 43200\) วิธี

กรณี 2-1-1 (รวม 1-2-1 กับ 1-1-2 ด้วย)

1. เรียง 5 เล่มก่อน ได้ 5! วิธี
2. มี 6 รู เสียบ 3 ที่ ได้ \(\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2} = 20\) วิธี
3. เลือกว่า ที่ ๆ เสียบ อันไหนจะมี 2 เล่ม ได้ 3 วิธี
4. เล่มที่เอาไปเสียบ สลับตำแหน่งกันได้ 4! วิธี

รวม \(= 5! \times 20 \times 3 \times 4! = 172800\) วิธี