Number Theory&Inequality

[dektep]

ให้ $a,b,c$ เป็นขำนวนนับและ $\frac{1+a}{b}+\frac{1+b}{c}+\frac{1+c}{a}$ เป็นจำนวนเต็ม
จงพิสูจน์ว่า $gcd(a,b,c) \leq \sqrt[3]{ab+bc+ca}$

[OsTan]

จาก $\frac{1+a}{b}+\frac{1+b}{c}+\frac{1+c}{a}$ เป็นจำนวนเต็ม

ได้ $\frac{ac+ac^2+ab+ab^2+bc+bc^2}{abc}$ เป็นจำนวนเต็ม

$abc\vert ac+ac^2+ab+ab^2+bc+bc^2$

ให้ $\gcd(a,b,c)=k$ และ $a=kx,b=ky,c=kz$

จะได้ $k^3xyz \vert k^2(xy+yz+zx)+k^3(x^2z+xy^2+yz^2)$

แต่ $k^3 \vert k^3xyz$ ดังนั้น $k^3 \vert k^2(xy+yz+zx)+k^3(x^2z+xy^2+yz^2)$

จาก $k^3 \vert k^3(x^2z+xy^2+yz^2)$

ดังนั้น $k^3 \vert k^2(xy+yz+zx)$

$k \vert xy+yz+zx $ เนื่องจาก $a,b,c \in \mathbb{N} $ ดังนั้น $xy+yz+zx\geq k$

จะได้ $\sqrt[3]{ab+bc+ca}=\sqrt[3]{k^2(xy+yz+zx)} \geq \sqrt[3]{k^2k} =k=\gcd(a,b,c)$

[Uranus Hunter]

คุณ OsTan สุดยอดจังเลยครับ