ใครคิดได้ ช่วยตอบด้วย

ให้ p, q, r เป็นจำนวนจริงที่ต่างกันซึ่งสอดคล้องกับสมการ
q = p(4 - p)
r = q(4 - q)
p = r(4 - r)
ให้หาค่าของ p+q+r ทั้งหมดที่เป็นไปได้

ขอบคุณครับ

จากโจทย์จะได้ว่า p+q+r = -p^4+8*p^3-21*p^2+21*p
ลองวาดกราฟของ y = -x^4+8*x^3-21*x^2+21*x
จะเห็นว่าค่าที่เป็นไปได้ของ p+q+r จะอยู่ในช่วง (-infinity, ymax]
โดยที่ ymax คือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ y และเราหา ymax ได้จากการแก้สมการ
dy/dx = -4*x^3+24*x^2-42*x+21 = 0
สมการนี้เป็นสมการกำลังสามที่ไม่มีรากเป็นจำนวนตรรกยะเลย เราอาจแก้สมการนี้ได้โดยใช้
Cardano's formula แต่คำตอบที่ออกมาคงยุ่งยากมากเพราะเป็นสมการกำลังสามแบบที่มีรากจริง 3 ราก
ในที่นี้ขอใช้ numerical analysis แก้ออกมาได้
x1 = 0.8690988773...
x2 = 1.8300615566...
x3 = 3.3008395659...
ymax = y(x3) = 9.5139050389...
หวังว่าผมคงทำถูกนะ แล้วถ้าใครมีเวลาว่างจะลองหา exact solution ดูก็ได้นะครับ

ไอ้หยา...ทำผิดหมกเลย ลืมไปว่า p = r(4-r) ด้วย แฮ่ๆ

เย่...คิดออกแล้ว แต่วิธีคิดน่าเกลียดมากเลย ค่าของ p+q+r
ที่เป็นไปได้คือ 0, 6, 7, 9 ใช่มั้ยครับ ให้มันรู้ไปสิว่าจะผิดอีก
เป็นคำรบสอง โจทย์ข้อนี้สวยดีนะ เอามาจากไหนครับ

[Rudolph]

ผมคิดได้ 3 ค่าเองครับ แต่ไม่แน่ใจว่าถูกรึป่าว
อยากให้ลองบอกคำตอบที่ถูกหน่อย
เผื่อว่าจะตรงนะครับ

[TOP]

ลองใช้ matlab แก้ดูแล้ว(ขี้เกียจทำ) ได้

p =0 , 3.879385241569 , 3.80193773580818 , 2.99999999999918 , 2.44504186791294 , 1.65270364466615 , 0.753020396282519 ,0.467911113762047

q = 0 , 0.467911113772637 , 0.753020396270506 , 3.00000000000164 , 3.80193773580456 , 3.87938524157183 , 2.44504186791259 , 1.65270364466615

r = 0 , 1.6527036446986 , 2.44504186788263 , 2.99999999999671 , 0.753020396283529 , 0.467911113762004 , 3.80193773580487 , 3.87938524157182

และจะได้ p + q + r ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ
0 , 6.00000000004023 , 6.99999999996132 , 8.99999999999753 , 7.00000000000103 , 5.99999999999998 , 6.99999999999998 , 6.00000000000002

แสดงให้เห็นว่า p + q + r ที่เป็นไปได้ทั้งหมดควรจะมี 4 ค่าด้วยกันคือ 0 , 6 , 7 , 9 อย่างที่คุณ warut ว่าไว้

ว่างๆก็เอาวิธีน่าเกลียดๆไปดูก่อนละกัน อาจจะช่วยให้บางคนหาวิธีสวยๆได้ง่ายขึ้นก็เป็นได้
จาก p - r(4 - r) = 0 แทนค่า r ด้วย q แล้วแทนค่า q ด้วย p จะได้
p^8 - 16*p^7 + 104*p^6 - 352*p^5 + 660*p^4 - 672*p^3 + 336*p^2 - 63*p = 0
p(p - 3)(p^3 - 6*p^2 + 9*p - 3)(p^3 - 7*p^2 + 14*p - 7) = 0

กรณีที่ 1 : p = 0
ดังนั้น p + q + r = 0 + 0 + 0 = 0

กรณีที่ 2 : p = 3
ดังนั้น p + q + r = 3 + 3 + 3 = 9

กรณีที่ 3 : p^3 - 6*p^2 + 9*p - 3 = 0
เนื่องจาก p เป็นรากของสมการกำลังสาม ดังนั้นจะต้องมีค่า p อย่างน้อยหนึ่งค่าที่เป็นจำนวนจริง
เนื่องจาก p + q + r = -p^4 + 8*p^3 - 21*p^2 + 21*p
ดังนั้น p + q + r = (p^3 - 6*p^2 + 9*p - 3)(2 - p) + 6 = 0*(2 - p) + 6 = 6

กรณีที่ 4 : p^3 - 7*p^2 + 14*p - 7 = 0
p + q + r = -p^4 + 8*p^3 - 21*p^2 + 21*p = (p^3 - 7*p^2 + 14*p - 7)(1 - p) + 7 = 0*(1 - p) + 7 = 7

[TOP]

อืม.. ว่าแต่คุณ warut มีเทคนิคยังไงในการแยกตัวประกอบ
p^6 - 13*p^5 + 65*p^4 - 157*p^3 + 189*p^2 - 105*P + 21
= (p^3 - 6*p^2 + 9*p - 3)(p^3 - 7*p^2 + 14*p - 7)

อ๋อ...เป็นการใช้เทคนิคพิเศษที่เรียกว่าการใช้คอมพิวเตอร์ไงครับ
ก็เนี่ยแหละผมถึงบอกว่ามันน่าเกลียดไง
แต่อย่างน้อยมันก็เป็น rigorous proof ว่าคำตอบคือ 0, 6, 7, 9
(อย่าลืมว่าแม้เราไม่อาจแยกตัวประกอบได้โดยง่ายแต่เราสามารถเช็คโดยการคูณกลับได้)
จริงๆผมเริ่มด้วยการหา numerical solution แบบเดียวกับที่คุณ TOP ทำนั่นแหละครับ
พอเริ่มมองเห็นว่าคำตอบคืออะไรก็ค่อยมาพยายามพิสูจน์ต่อด้วยวิธี brute-force
แต่โจทย์อย่างนี้ต้องมีที่มาและคำตอบสวยๆแน่นอน
ใน webboard นี้ผมชอบโจทย์ข้อนี้กับข้อ tan(3*pi/11) + 4*sin(2*pi/11) = sqrt(11) มากที่สุด
และถึงแม้ว่าคุณ gon จะพิสูจน์ข้อตรีโกณให้ดูแล้วผมก็ยังคิดว่าน่าจะมีวิธีที่สวยกว่าอยู่
เสียดายที่ผู้โพสต์ไม่ได้บอกว่าเอาโจทย์มาจากไหน

สำหรับข้อนี้...ล่าสุดผมก็ลองใช้ spherical coordinate แก้ดูแต่ไม่สำเร็จ
คือผมมีมุมมองว่าถ้า (p, q, r) เป็นจุดใน 3D cartesian coordinate
สมการทั้งสามจากโจทย์ก็คือ surfaces 3 อัน จุดตัดของผิวทั้งสามก็จะนำไปสู่คำตอบ
แล้วผมก็หวังว่าถ้าแปลงเป็น spherical coordinate แล้วสมการจะแก้ได้ง่ายขึ้น
เพียงแค่หา r (ใน spherical coordinate นะครับ ไม่ใช่ r ในโจทย์ นั่นคือ r = sqrt(p^2+q^2+r^2)) ได้ก็พอ
เพราะถ้าเราเอาสมการโจทย์ทั้งสามมาบวกกันจะได้ 3(p+q+r) = p^2+q^2+r^2
แต่ผลก็คือ...เจ๊ง 555

ผมชินซะแล้วครับกับการใช้คอมฯแก้โจทย์...อย่าทำตามนะมันไม่ดีหรอก
สมัยก่อนก็ใช้ทำ numerical computation ต่อมาพอคอมฯก้าวหน้าขึ้นก็ใช้ทำ
symbolic computation ด้วย เช่น polynomial factorization, partial fractions,
differentiation, integration เป็นต้น เราจะได้มีเวลาเหลือไปทำเรื่องอื่นที่คอมฯทำไม่ได้
อย่างเมื่อเร็วๆนี้ผมลองหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ 1/(n^6+1) ตั้งแต่ n=1 เล่นๆดูแก้เซ็ง
ผมยังไม่รู้เลยว่าถ้าไม่มีคอมฯจะทำได้ไง การคำนวณมันยุ่งไปหมด มีโอกาสผิดได้ตลอดเวลา
ก็ได้คอมฯนี่แหละคอยช่วยเช็คไปทีละ step (อ้อ...สำหรับผู้ที่อยากรู้ค่าผลบวกคือ
pi/6*(coth(pi) + (sinh(pi) + sqrt(3)*sin(pi*sqrt(3)))/(cosh(pi) - cos(pi*sqrt(3)))) - 1/2)

ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบ
ข้อสอบนี้เป็นข้อสอบคัดเลือก Math Olympiad ของ Rep. Ireland จำปีไม่ได้

เออ คือว่าขอต่ออีกหน่อยนะครับ อยากรู้ว่าทำแบบนี้ได้รึป่าว
ผมเคยอ่านจากหนังสืออะไรก็ไม่รู้ ว่าให้ดูการเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ลบเป็นบวก แล้วเราจะรู้ว่าคำตอบของสมการที่เป็นจำนวนบวกจะมีกี่จำนวน
ขณะเดียวกัน ถ้าแทนค่า -x เข้าไปแล้วเราจะรู้ว่าคำตอบที่เป็นจำนวนลบมีเท่าไร
สรุปแล้วเราก็จะรู้ว่าคำตอบที่เป็นจำนวนจริงว่ามีกี่จำนวนจากสมการ
ผมจำวิธีนี้ไม่ได้แล้ว แต่จากการลองมั่วนับ ๆ ดูจากสมการของคุณ warut ผมได้ว่ามีจำนวนจริงเป็นคำตอบ 8 ตัว
ถ้า p=q แล้ว p=q=r
และ ถ้า p=q=r แล้ว p=q=r=0 หรือ p=q=r=3
เพราะฉะนั้นก็เหลือคำตอบอีก 6 ตัว
เนื่องจาก p<>q<>r แล้ว
เพราะฉะนั้น จาก 6คำตอบที่เหลือนั้น ต้องได้ผลบวก 2 แบบ รึป่าวววววว
อยากรู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหมเอ๋ย

[TOP]

ถึงจะใช้คอมพ์ช่วยก็เถอะ มันก็ดูยุ่งยากนะ เพราะเราก็ไม่รู้ด้วยว่ามันจะแยกออกเป็นพหุนามกำลังสาม 2 ตัวคูณกัน โดยที่แต่ละตัวมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มด้วยได้ จะให้ลองจับกลุ่มของคำตอบมาสร้างเป็นพหุนามก็เถอะเหนื่อยเหมือนกัน คุณ warut เขียนโปรแกรมขึ้นมาแยกตัวประกอบเองเลย หรือว่าใช้ mathematica(ผมยังไม่ค่อยได้ใช้เท่าไร ไม่รู้ว่าทำได้หรือเปล่า)

สำหรับโจทย์แนว tan(3pi/11) + 4sin(2pi/11)= sqrt(11) ก็เหมือนกับโจทย์ 8sin(pi/7)sinj(2pi/7)sin(3pi/7) = sqrt(7) นั่นแหละครับ ที่จำเป็นต้องใช้เอกลักษณ์ผลรวมของ cos(n pi/ ?)แล้วได้ 1/2 gon เขาบอกมาแบบนี้นะ

วิธีที่คุณ Rudolph บอกมาก็คือวิธี descarte(ไม่แน่ใจว่าเขียนถูกหรือเปล่า) แต่วิธีนี้ไม่สามารถยืนยันได้ว่า มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงบวกหรือลบอย่างละกี่ตัว บอกได้แต่เพียงว่ามีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงบวกหรือลบอย่างละไม่เกินกี่ตัว

ในกรณีที่ p = q = r = 0 หรือ p = q = r = 3 ได้ผลลัพธ์มา 2 แบบแล้ว จึงเหลือ p อีก 6 ค่าที่ยังไม่ได้ใช้ หากพิจารณา 3 สมการข้างบนให้ดีจะพบว่า p , q , r มีสมบัติสมมาตรกัน นั่นก็หมายความว่าเซ็ตของค่า p , q , r เป็นเซ็ตเดียวกันนั่นเอง เพียงแต่อาจมีลำดับที่ต่างกัน หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ
หากค่าของ p ที่เหลืออีก 6 ค่าคือ p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 เราสามารถเขียนค่า p ทั้ง 6 ค่านี้ได้ใหม่เป็น p1 , q1 , r1 , p2 , q2 ,r2
นั่นก็หมายความว่า หากเราเลือก p1 , p2 , p3 มาใช้ก็จะได้ p + q + r เป็นค่าเดียวกัน ในทำนองเดียวกันหากเราเลือก p4 , p5 , p6 มาใช้ก็จะได้ p + q + r เป็นค่าเดียวกัน คุณ Rudolph หมายความแบบนี้หรือเปล่า

[gon]

ตอบคุณ warut ครับ
ข้อ tan(3*pi/11) + 4*sin(2*pi/11) = sqrt(11)
ผมตามไปดูจนพบว่าเอามาจากนี่ครับ
Journal: The Two Year College Mathematics Journal
Publisher: Mathematical Association of America
volume(year)page references:
Proposal: 13(1982)207 by V. N. Murty
Solution: 14(1983)359 by Kee-Wai Lau
Solution: 14(1983)359 by Bob Prielipp

ข้อนี้ผมวิธีง่าย ๆ กำลังคิดอยู่ครับ.
ผมเพิ่งมาดู

[ 12 พฤษภาคม 2001: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้วจากคุณ: gon ]

[Rudolph]

ตกลงว่าวิธีที่ผมลองใช้นี่บอกได้แค่ว่าคำตอบไม่เกินกี่ตัวใช่ไหมครับ
ไม่ได้บอกว่าเท่ากับกี่ตัว

ลองใช้หลัก extreme ทำดูสิครับ