รบกวนถามเรื่องการจัดวงกลมครับ

prachya · #1 20 มกราคม 2006, 20:04

พักนี้ งานเยอะมากมายครับ >< เลยมะค่อยได้เข้าบอร์ดเรย

มาคราวนี้ขอรบกวนพี่ๆช่วยอธิบาย combinatoric ข้อนี้หน่อยครับ เป็นคำถามพื้นๆแหละครับ
แต่ตอบไม่ตรงกันในห้อง -*- (อีกแล้ว) เพื่อนไปเรียนข้างนอก ตอบอีกอย่างนึง
แล้วตอนนี้ผมก็อธิบายอะไรเพื่อนไม่ได้เหมือนกัน ผมไม่ถนัด com ด้วย เพราะผิดไม่รู้ตัวประจำ !!

จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดชาย 6 คนและหญิง 6 คน นั่งประชุมรอบโต๊ะกลม โดยที่
1.ให้ชายและหญิงสลับที่กัน
2.ให้ชายและหญิงนั่งสลับกันคราวละ 2 คน
3.ให้ชายและหญิงนั่งสลับกันคราวละ 3 คน

อยากทราบแนวคิดหน่อยครับ ขอละเอียดนิดนึงนะครับ
ละก้อ ขอหลายๆแนวคิดด้วยนะครับทั้ง fix คนนั่ง (ซึ่งอาจารย์อธิบาย ผมยังคาใจอยู่ว่า ต้อง fix ทั้งกลุ่ม หรือว่า fix คน แล้วคูณ 2 หรืออะไรยังไงกันแน่..) ละก้อแบบที่จัดเป็นเส้นตรงก่อน แล้วค่อยหารแบบซ้ำ
หรือถ้ามีวิธีอื่น แนะนำเพิ่มเติมด้วยก็ดีครับ ^o^ ขอบคุงครับ

<ยังไงก้อรบกวนช่วยอธิบาย 3 ข้อเลยนะครับ เพื่อเปรียบเทียบให้ชัดเจนนิดนึง เพราะ 2 คน ถ้า 2! กะ 2 มันค่าเท่ากัน บางทีมันจะไม่เคลีย>
ปล. ยังไม่ขอพูดว่าอาจารย์อธิบายมายังไงนะครับ แล้วเพื่อนที่เรียนอ.สมัยอธิบายยังไง กลัวเด๋วจะเขวกัน

เพิ่ม : เพิ่งนึกได้อีกข้อครับ...
รบกวนถามหน่อยครับ ว่าการอ้างเหตุผล valid ไหม เพราะอะไรหนะครับ
เหตุ 1. นร.บางคนชอบฟุตบอ
2. นักฟุตบอลบางคนไม่เป็นนร.
3. สมศักดิ์ เป็นทั้งนร. และนักฟุตบอล
ผล สมศักดิ์อาจไม่ชอบฟุตบอล

เคยเรียนมา เค้าว่าไม่สมเหตุสมผล เพราะอะไรอ่ะครับ??? มันมีคำว่า "อาจ" นี่นา

polojui · #2 20 มกราคม 2006, 22:46

จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดชาย 6 คนและหญิง 6 คน นั่งประชุมรอบโต๊ะกลม โดยที่
1.ให้ชายและหญิงสลับที่กัน
2.ให้ชายและหญิงนั่งสลับกันคราวละ 2 คน
3.ให้ชายและหญิงนั่งสลับกันคราวละ 3 คน

ตอบนะ ข้อ 1 5!6!2!
2 2!3!2!2!2!2!2!2!2!
3 1!2!2!3!3!3!3!

นะจ๊ะ โดย fix ที่เพศ จ๊ะ เลือก มา 1 แล้วแบ่ง 2พวก จ๊ะแล้วคูณด้วย การสลับที่ของเพศ= 2!

ส่วน ข้อ 2 เราไม่รู้แล้วนะ เราก็ไม่ค่อยเค้าใจที่เธอพิมพ์นะ
เป็นนักฟุตบอล ก็ต้องชอบฟุตบอล
ผล สมศักดิ์อาจไม่ชอบฟุตบอล
ก็ต้องไม่สมเหตุสมผล จ๊ะ
ส่วนคำว่าอาจมันแสดงความไม่แน่ใจ มันต้องใช้คำว่า ไม่ชอบไปเลย หรือ ชอบไปเลย
เราว่าโจทย์มัน ไม่ work นะ

prachya · #3 20 มกราคม 2006, 23:54

อ่า ขอบคุณสำหรับคำตอบนะครับ
ข้อแรก พี่ๆคนไหนมีความเห็นอื่นไหมครับ ผมเคยคิดแบบนี้เหมือนกัน แต่.. ไม่ตรงอาจารย์ครับ และนี่ก้อเรยเป็นประเด็นที่ต้องรบกวนมาถามในบอร์ดนี้ เพราะผมก้ออธิบายอะไรไม่ได้เหมอืนกัน ว่าใครถูก?

ข้อสอง พูดคล้ายๆกันครับ อาจารย์เค้าว่าโจทย์มันไม่ควรจะมีคำว่า "อาจ" การจะสรุป valid หรือ invalid ควรจะเป็นอะไรที่เจาะจงไปเลย ขอไปดูอีกที
ทีแรกผมเจอยังไม่เท่าไร แต่เจอโจทย์ที่มีคำว่า "อาจ" อีกครั้งนึงใน e-book ของพี่จุฬาคนนึง ที่สรุปเนื้อหาม.ปลาย แล้วก็สรุปว่า invalid เหมือนกัน เลยค้างคาใจครับ ว่าควรจะตอบอะไรกันแน่?

แผนภาพข้อ 2 ควรจะเป็นยังไงหรอครับ
แบบ ก.

หรือว่าแบบ ข. นี้ครับ ถ้าแบบ ข. ก็ ok ครับว่า invalid แต่ว่า... ทำไมถึงวาดรูปแบบนี้ครับ (เฉลยมาแบบนี้เหมือนกัน) ในเมื่อไม่ได้กำหนดว่า นักฟุตบอลชอบ หรือไม่ชอบฟุตบอล

ปล. ผมไม่อยู่ 2 วันนะครับ ต้องไปค่าย คงกลับมาตอบวันอาทิตย์นะครับ ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับทุกคำตอบนะครับผม

gon · #4 21 มกราคม 2006, 07:32

เดี๋ยวมืด ๆ ถ้ามีเวลาจะมาอธิบายให้ฟังครับ

ตอนนี้เขียนสั้น ๆ ได้ว่า จำนวนวิธีในการจัดของ k ประเภท ๆ ละ m สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเป็นวงกลม โดยสลับทีละ r สิ่ง ทำได้ $\frac{k!(m!)^k}{\frac{km}{r}}$ โดยที่ r | m

prachya · #5 22 มกราคม 2006, 19:44

ขอบคุณครับ พี่กร ไว้พี่ว่างๆรบกวนอธิบายเพิ่มเติมด้วยนะครับ

polojui · #6 22 มกราคม 2006, 20:24

อย่างรู้ด้วยคนค่ะ ถ้าถ้าช่วยอธิบายด้วยนะค่ะ

gon · #7 22 มกราคม 2006, 20:30

พรุ่งนี้พี่ต้องปิดต้นฉบับให้ได้ครับ ฉบับนี้มันสายพอควร เวลาช่วงนี้เลยต้องเป๊ะป๊ะหน่อย แต่ไม่นานเกินรอ

prachya · #8 24 มกราคม 2006, 21:32

แหง่ก ยังรออยู่นะครับ พี่กร ><

gon · #9 25 มกราคม 2006, 16:54

การจัดแบบวงกลมปกติไม่มีสูตรตายตัวที่แน่นอนครับ ที่ใช้กันอยู่ถ้ามีรูปแบบ จะใช้หลักที่ว่า

การจัดแบบวงกลม = การจัดแบบเส้นตรง/จำนวนแบบที่ซ้ำ

การจัดชาย 6 หญิง 6 เป็นเส้นตรงโดยสลับทีละทำได้ 2 ทำได้ 2!6!6! วิธี

สมมติให้ M แทน ชาย , F แทน หญิง จะพบว่าถ้าจัดแบบเส้นตรง 6 แบบต่อไปนี้ คือ

$M_1 M_2 , F_1 F_2 , M_3 M_4 , F_3 F_4 , M_5 M_6 , F_5 F_6$

$ F_1 F_2 , M_3 M_4 , F_3 F_4 , M_5 M_6 , F_5 F_6, M_1 M_2$

$ M_3 M_4 , F_3 F_4 , M_5 M_6 , F_5 F_6, M_1 M_2, F_1 F_2 $

$F_3 F_4 , M_5 M_6 , F_5 F_6, M_1 M_2, F_1 F_2, M_3 M_4 $

$ M_5 M_6 , F_5 F_6, M_1 M_2, F_1 F_2, M_3 M_4, F_3 F_4 $

$ F_5 F_6, M_1 M_2, F_1 F_2, M_3 M_4, F_3 F_4 , M_5 M_6$

ซึ่งถ้าเป็นวงกลมแล้ว จะถือว่าเป็นแบบเดียวกัน เพราะทิศวนไปทางเดียวกัน และลำดับก็ตรงกัน

ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดชาย 6 หญิง 6 เป็นวงกลมโดยสลับทีละ 2 จึงทำได้ เพียง (2! 6! 6!)/ 6 วิธี

ทำนองเดียวกัน ถ้าต้องการสลับทีละ 3 แล้ว 4 แบบของการจัดเส้นตรงต่อไปนี้ คือ

$M_1 M_2 M_3 , F_1 F_2 F_3 , M_4 M_5 M_6 , F_4 F_5 F_6$

$ F_1 F_2 F_3 , M_4 M_5 M_6 , F_4 F_5 F_6, M_1 M_2 M_3$

$ M_4 M_5 M_6 , F_4 F_5 F_6, M_1 M_2 M_3, F_1 F_2 F_3$

$ F_4 F_5 F_6, M_1 M_2 M_3, F_1 F_2 F_3, M_4 M_5 M_6$

ถ้าจัดเป็นวงกลมจะเป็นวิธีเดียวกัน (4 มาจากไหน? มาจากทั้งหมด คือ (2)(6) หารด้วยทีละบล็อคของการสลับ คือ ทีละ 3 ก็จะได้ (2)(6)/3 = 4 ชุด)

ดังนั้นถ้าชาย 6 หญิง 6 สลับทีละ 3 เป็นวงกลม จะทำได้ 2! 6! 6! / 4 วิธี

ทำนองเดียว ถ้ามีของ k ประเภท ๆ ละ m สิ่ง เท่ากัน หากต้องการจัดเป็นวงกลมทีละ r สิ่ง โดยที่ r | m

ถ้าจัดเป็นเส้นตรงสลับทีละ r จะทำได้ $k! (m! m! ... m!) = k! m!^k$
(k! คือ จำนวนวิธีการสลับของ k ประเภทว่าประเภทใดจะเป็นหัวแถว)

แต่หากเป็นเส้นตรง จะซ้ำกัน km / r แบบ

เมื่อจัดเป็นวงกลม จึงทำได้ $k! m!^k / (km/r)$ นั่นเอง

ถ้างงต้องลองเขียนด้วยมือตัวเองเยอะ ๆ ครับ. พี่เคยบ้าพลังถึงขนาดเขียน 5! = 120 แบบออกมา เพียงเพื่อตรวจสอบแนวคิดอะไรบางอย่างให้มั่นใจ 100%

prachya · #10 25 มกราคม 2006, 19:51

อิอิ พระเอกขี่มาขาวมาช่วยแย้ว ขอบคุงครับพี่กร ^o^

ผมม่ายบ้าพาว ขนาดแจงกรณีเปงร้อยอ่าครับ น่ากลัว !!

ส่วนข้อ logic สรุปว่ายางไงดีหรอครับ

ปล. แอบสังเกตเห็นเวลาที่พี่กรโพส ทำไมพิมพ์ยืดยาว ใช้เวลา 3 นาทีเองอ่ะครับ

polojui · #11 27 มกราคม 2006, 02:51

thanks ค่ะ อธิบายได้เข้าใจดีค่ะ พี่พิสูจน์ข้อเท็จจริงให้เห็นเลย พี่นี่พาวสุดๆเลย