CDF Function และ Error Function

[Anupon]

สวัสดีครับ ผมมีคำถามเกี่ยวกับ CDF Function ครับ
คือผมไปอ่านเจอบทความเกี่ยวกับ CDF Function และ error function ครับ ซึ่งทั้งสองอันมีสมการดังนี้

CDF Function : $$ F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty}^{x}\ e^{\frac{-t^{2}}{2}} dt $$

Error Function : $$ erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt $$

เขาบอกว่า สามารถพิสูจนได้ว่า $$ F(x) = 0.5(1+erf(\frac{x}{\sqrt{2} })) $$ ผมพิสูจน์แล้วได้แค่ใกล้เคียงอะครับ แต่ไม่ตรงสักที อยากให้ผู้รู้ช่วยลองพิสูจน์ดูให้หน่อยอ่ะครับ

ขอบคุณครับมากๆครับ

[nooonuii]

$\displaystyle 0.5(1+erf(\frac{x}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{x/\sqrt{2}}e^{-t^2}dt$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-u^2/2}\frac{du}{\sqrt{2}};u=\sqrt{2}t$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-u^2/2}du+\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-u^2/2}du$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-u^2/2}du$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=F(x)$

[Anupon]

ขอบคุณมากๆครับ เดี๋ยวผมจะลองดูครับ

ขอสอบถามเพิ่มเติมนิดหนึ่งครับ
$$ ทำไมบรรทัดที่สอง \int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{2}}} ถึงกลายเป็น \int_{0}^{x} ธรรมดาได้อ่ะครับ$$
$$ แล้วบรรทัดที่สาม \int_{-\infty}^{0} โผล่มาจากไหนอะครับ $$

รบกวนอีกทีนะครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anupon

$$ ทำไมบรรทัดที่สอง \int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{2}}} ถึงกลายเป็น \int_{0}^{x} ธรรมดาได้อ่ะครับ$$

มาจากการเปลี่ยนตัวแปร $u=\sqrt{2}t$ ถ้า $t=x/\sqrt{2}$ จะได้ $u=x$

$$ แล้วบรรทัดที่สาม \int_{-\infty}^{0} โผล่มาจากไหนอะครับ $$

$\dfrac{1}{2}$ คือค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มปรกติจาก $-\infty$ ถึง $0$

ถ้าแปลงกลับในรูปปริพันธ์ก็จะได้อย่างที่เห็น แต่ถ้าไม่เข้าใจความน่าจะเป็นก็อาจจะต้องพึ่งสูตรนี้ครับ

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}du=\sqrt{2\pi}$

โดยสมบัติการเป็นฟังก์ชันคู่ของ $e^{-u^2/2}$ จะได้ว่า

$\displaystyle \int_{-\infty}^{0}e^{-u^2/2}du=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}$

[Anupon]

ขอบคุณมากๆครับ

ตอนแรกผมพิสูจน์ไปนี่ไม่ใกล้เคียงเลย แต่ตอนนี้ผมลองพิสูจน์ดูแล้วใกล้เคียงแล้วครับ แต่ผมยังคงได้

F(x) = 0.5(1+erf(x)) อ่ะครับ รบกวนช่วยดูหน่อยได้หรือเปล่าครับ ว่าผิดตรงไหน

>> รูปที่ผมพิสูจน์ครับ [IMG]
adult image[/IMG]<<

[nooonuii]

ลืมเปลี่ยนลิมิตของการอินทิเกรตครับ จาก $\square = \dfrac{t}{\sqrt{2}}$

เมื่อ $t=x$ จะได้ $\square=\dfrac{x}{\sqrt{2}}$

[Anupon]

อ่อ ขอบคุณมากๆครับ เจอละ ผมก็งงอยุ่ตั้งนาน -/\-